Процедура Кемені. Формування підсумкового ранжування по результатам колективної експертизи

Аналізуючи думки експертів, можна застосовувати найрізноманітніші статистичні методи, описувати їх означає описувати всю прикладну статистику. Проте можна виділити основні, що широко використовуються в даний час, методи математичної обробки експертних оцінок — це перевірка узгодженості думок експертів (або класифікація експертів, якщо немає узгодженості) і усереднення думок експертів всередині узгодженої групи.

Оскільки відповіді експертів у багатьох процедурах експертного опитування — не числа, а такі об'єкти нечислової природи, як градації якісних ознак, ранжування, розбиття, результати парних порівнянь, нечіткі переваги і т.д., то для їх аналізу застосовуються скоріш евристичні процедури, ніж математичні методи. Однією з таких процедур є процедура Кемені, що обчислює деяку узгоджену, середню оцінку з декількох різних експертних оцінок. Згідно ідеї Кемені, така оцінка характеризується мінімально можливою відстанню до початкових оцінок, тобто її розрахунок дещо схожий з розв’язком оптимізаційної задачі. Знайдена таким способом середня оцінка (формально — , тобто ранжування, залежне від всіх початкових оцінок, сума відстаней від якого до кожної з цих оцінок мінімальна) називається «медіаною Кемені».

Сутність розрахунку медіани Кемені наступна. Припустимо, що Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.експертів висловили свої оцінкиОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.об’єктів, розташувавши їх у формі векторів:Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.,Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.. Чим кращий на думку експерта конкретний об’єкт, тим вище він буде стояти у векторі, складеним цим експертом.

В розрахунках виконується перехід від якісних оцінок до чисельних (індексів). Тобто, якщо Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.краще заОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., тоОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., і навпаки. Експерти також можуть надати однакову оцінку кільком об’єктам:Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.,Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования..

Для кожного вектора Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.утворюється квадратна матрицяОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.попарних порівнянь за принципомОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.Оскільки ізОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.випливає, щоОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., така матриця буде кососиметричною (Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.).

Далі формується матриця відстаней (в деяких джерелах — втрат) між експертними оцінками Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.(Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.). Елементи цієї матриці дорівнюють сумі відстаней від елементів однієї з матрицьОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.до відповідних елементів всіх інших матриць. Відстань розраховується за звичайною одновимірною метрикою:Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.. Ця матриця містить всю необхідну інформацію для подальших розрахунків, оскільки вона характеризує всі відстані між оцінками — для знаходження медіани Кемені потрібно так розмістити альтернативні оцінки, тобто рядки та стовпці матриці, щоб сума елементів над головною діагоналлю виявилась найменшою.

Згідно з алгоритмом Кемені, діагональні елементи Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.дорівнюють нулю; для всіх інших елементів знаходитьсяОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.— найменший номер матриціОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., в якійОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., далі сумуються відстані відОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.доОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.для всіхОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.. Наведемо спрощення цього етапу розрахунків: за визначеннямОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.завжди дорівнює одиниці, а додання до суми членуОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.ії ніяк не змінить. Тому можна користуватися формулоюОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.

Для останнього етапу розрахунків існують два алгоритми: евристичний та комбінаторний. Евристичний алгоритм має доволі просту структуру і виявляється достатньо коректним на практиці; комбінаторний ж алгоритм є математично обґрунтованим, формалізованим та складнішим у реалізації.

В евристичному алгоритмі для отриманої матриці Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.обчислюються суми всіх елементів по рядках. Індекс рядка, для якого ця сума найменша, відповідає індексу об’єкта, який стане в підсумковому ранжуванніОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.на перше (найкраще) місце. З матриціОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.викреслюється стовпець і рядок з цим індексом, що утворює матрицюОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.порядку. Процес повторюється до появи матриціОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.з одного елемента.

В кінці процедури виконується перевірка того, що отримане ранжування дійсно має найменші відстані до початкових експертних оцінок. Для цього попарно перевіряються елементи вектора Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.: якщо, то індексиОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.таОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.переставляються місцями. Далі беруться попередні елементи вектора, допоки не будуть розглянутіОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.таОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.. Далі цикл перевірки виконується спочатку, доки він не завершиться без жодної перестановки в векторіОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.. Індекси, що містяться в цьому векторі, позначають кінцеве ранжування.

Центральний принцип комбінаторного алгоритму — метод гілок та меж. Для отриманої матриці відстаней виключаються окремі альтернативи, положення яких в остаточному ранжуванні (на самому початку або в самому кінці) відомо одразу. Далі формується послідовність матриць, для яких розраховуються верхні та нижні границі по відстанях до експертних оцінок; в подальшому розгляді альтернативи, що мають більші відстані, будуть одразу відкинуті без перевірки.

Спочатку для матриціОшибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.знаходяться параметрита,, що дорівнюють кількості стовпців, для яких, відповідно,або. Якщо після цього в матриці присутній рядок, для якого, то елемент(так звана альтернатива Кондорсе) обов’язково стане на перше (найвище з доступних) місце у підсумковому ранжуванні. З іншого боку, якщо, тостане на останнє місце. Таким чином можна одразу виключити декілька альтернатив з подальшого розгляду.

Далі розраховуються верхня та нижня границя для матриці Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.,тавідповідно, за формулою. Додатково зберігаємо ранжування, на якому досягається границя. Якщо, то медіана Кемені співпадає з; інакше ж беремо,.

Формуємо наступні множини індексів: — перша альтернатива, що на даній гілці вважається найкращою;— всі інші альтернативи;— індекси альтернатив, для якихабопісля того, як будуть відкинуті найкращі альтернативи з матриці;— ті ж індекси після видалення найгірших альтернатив; відповідно— множина індексів альтернатив, розташування яких на даній гілці вже визначено,— множина «невизначених» індексів.

Складається матриця , для неї розраховуються границі,та відповідне ранжування. Ітераційний процес продовжується:; якщо, то виконується перехід до наступної ітерації, тобто формуються нові множини індексів,,,,та. Єдина відмінність від початкової ітерації полягає в тому, щомістить перший індекс з тих, що досі розглядаються, тобто не обов’язково одиницю.

Якщо ж , то— індекс останньої зафіксованої альтернативи. За умови, що, фіксуємо альтернативуіз найменшим номером, що перевищуєі не є визначеним, та ставимо її в підсумкове ранжування на місце. Після цього необхідно переглянути списки найкращих та найгірших вершин на даній гілці. Коли, останню зафіксовану альтернативу відкидаємо, а беремо передостанню і аналогічно фіксуємо наступну за нею. Далі знову уточнюємо списки найкращих та найгірших альтернатив, формуємо нові множини індексів та переходимо до ітерації.

Врешті-решт ми дійдемо до моменту, коли стане першою з зафіксованих альтернатив. Це означає, що всі можливі варіанти розглянуті, і медіана Кемені дорівнює ранжуванню.

Слід зазначити, що даний комбінаторний алгоритм може знайти тільки одну медіану. Для знаходження всіх ранжувань, що також є медіанами Кемені, необхідно зберігати всі ранжування, на яких досягається значення . [4]

Отримання середньої оцінки також виконується у значно простішій процедурі Борда. Кемені вважав безпосередній перехід до арифметичного накопичення балів в цьому методі некоректним через нечисельну природу об’єктів, що розглядаються: хоча процедура Кемені також вживає перехід від якісних до кількісних оцінок, це можна вважати більш обґрунтованим через міркування про відстань між оцінками та необхідність її мінімізації.

Розглянемо приклад застосування процедури Кемені для чотирьох експертів та їх оцінок щодо чотирьох об’єктів. Запишемо чотири ранжування:,,,.

Тобто, перший експерт вважає найкращим об’єктом , другим за пріоритетами — , потім , і найгіршим об’єктом — .

Побудуємо матриці попарних порівнянь для кожної з цих оцінок:

, ,,.

Тепер утворимо матрицю відстаней: . Підрахуємо суми по рядках матриці і знайдемо найменшу з них. На роль найкращого елемента підсумкового ранжування претендує елемент . Далі слід видалити рядок та стовпець з відповідним індексом:. Наступним елементом буде.; останніми двома елементами, очевидно, будутьта. В якості первісного підсумкового ранжування отримуємо наступне ранжування:.

В відповідності до процедури Кемені, відбувається перевірка з допомогою попарного порівняння елементів в підсумковому ранжуванні, починаючи с найгіршого. Розглядається пара та:, тобто елементи знаходяться у правильному порядку. Аналогічно переконуємось, що, але. Ця нерівність означає, що елементитаслід змінити місцями.

Починаючи цикл перевірок спочатку, ми не отримаємо ніяких подальших перестановок. Відповідно, остаточне ранжування, медіана Кемені має вигляд .