Аналіз ефективності евристичних процедур системного аналізу

Нещодавно в журналі «Проблеми управління» було опубліковано низку статей, що обговорювали можливу некоректність методу аналізу ієрархій. В цих роботах наведено декілька прикладів, в яких результати, отримані за допомогою теорії важливості критеріїв, а також інтуїтивні міркування не співпадають з тими, що дає метод аналізу ієрархій. В процесі дискусії була висунута думка, що в рамках цього методу існують два підходи — нормативний, що передбачає порівняння альтернатив відносно деякої стандартної або ідеальної альтернативи, тобто утворення шкал інтенсивностей для кожного з критеріїв з подальшим урахуванням їх значущості, та дескриптивний. В залежності від поставленої задачі вживання одного з цих підходів може дійсно призвести до отримання некоректних результатів. [50].

Отримання некоректних результатів можливе при певних початкових даних, навіть у тому випадку, коли в результаті використання евристичної процедури обчислення матриць попарних порівнянь підтверджена узгодженість і коректність даних. У статті Подиновського «О некорректности метода анализа иерархий» були спеціальним чином підібрані початкові дані для отримання некоректного результату. Поставлено завдання ранжування варіантів оцінок за двома критеріями, причому обидва критерії мають однакову важливість. Критерії мають загальну шкалу: відмінно (e — excellent), добре (g — good), посередньо (m — mediocre). Задається чотири варіанти оцінок: . [50].

Вектор пріоритетів критеріїв дорівнює в силу однакової важливості критеріїв. В результаті застосування методики Сааті необхідно отримати вектор пріоритетів кожної з оцінок. Таким чином на основі підібраних даних про степені переваги шкальних оцінок був отриманий наступний вектор пріоритетів оцінок: . Проте оскільки початкові критерії є рівноважливими, то деяка векторна оцінка і оцінка, отримана перестановкою компонент цієї оцінки, мають бути однаковими за перевагою. У цьому варіанті друга і четверта оцінка повинні мати однаковий пріоритет. При цьому впорядкованість оцінок, отримана методом важливості критеріїв, суперечить даній. Таким чином, метод Сааті дає деяку похибку в обчисленнях.

Стосовно проблеми, що розглядається у нашій роботі, зазначимо, що математична коректність методу не є обов’язковою умовою для його використання. По-перше, він позиціонується здебільшого як евристична процедура і вже через це не претендує на остаточну математичну обґрунтованість. По-друге, дані, які будуть опрацьовані за допомогою цієї процедури, містять суб’єктивний елемент (експертні оцінки), що також суперечить можливості точного розв’язання задачі.

Головною перевагою процедури Сааті є той факт, що ваги критеріїв і оцінки за суб'єктивними критеріями призначаються не прямим вольовим методом, а на основі попарних порівнянь. Інша перевага — представлення критеріїв у вигляді ієрархії (дерева). Така структура внутрішньо властива самому поняттю «критерій», оскільки критерії за своєю природою ієрархічні. Виконання оцінки або для верхніх рівнів дерева критеріїв, або для найнижчих («для листя дерева») відбувається з використанням однієї критеріальної таблиці.

Основний недолік методу Сааті полягає в тому, що попарні порівняння використовуються для отримання кількісних значень. Серйозні дослідження останнього десятиліття призводять до висновку, що коректніше і надійніше використовувати попарні порівняння для отримання тільки якісних висновків на кшталт «критерій К1 важливіший за критерій К2», не уточнюючи, на скільки важливіше. Таким чином, оцінка, отримана в результаті застосування методу Сааті, в деяких випадках може виявитися грубою.

З іншого боку, процедура аналізу ієрархій містить «вбудований» індикатор некоректності — індекс узгодженості, що обчислюється разом із відповідною матрицею попарних порівнянь. Хоча його значення не свідчить безпосередньо про коректність даних, що обробляються, воно дозволяє спостерігати за узгодженістю експертних оцінок та здійснювати за необхідності їх відповідний перегляд. Відповідно, можна частково регулювати гарантовану коректність отриманих результатів шляхом висунення суворіших вимог до цього індексу, тобто зменшення «критичного» значення, що вимагає перегляду оцінок.

Слід зазначити, що наведений приклад фактично стосується ефекту «rank reversal», тобто ситуації, коли додавання або видалення альтернатив, навіть однозначно кращих або гірших за всі інші (наприклад, «ідеальних» гіпотетичних варіантів з метою перевірки, чи справді вони матимуть найвищі пріоритети), призводить до зміни порядку попередньо розглянутих альтернатив. В науковому середовищі досі немає консенсусу стосовно того, чи є цей ефект неодмінно небажаним, але для нашої задачі це не має принципового значення, бо метод Сааті буде використаний лише для попередньо сформованих альтернатив, без подальших змін у їх складі.

З урахуванням цих міркувань і поширеності методу аналізу ієрархій у світовій практиці здається доцільним все ж таки користуватися ним як діючою методикою системного аналізу.

Ще однією евристичною процедурою, що розглядається та використовується у даній роботі, є розрахунок медіани Кемені. На відміну від методу Сааті, не можна сказати, що результат розрахунку може виявитись некоректним; скоріше, він може бути неідеальним, тобто можливе існування ще ближчих до медіани ранжувань, або він може представляти лише одну медіану з багатьох однаково якісних.

Особливістю цієї процедури є те, що для неї існує комбінаторний алгоритм, який гарантовано знаходить всі можливі медіани Кемені, тобто поряд із евристичним варіантом розрахунку існує математично обґрунтований (оскільки комбінаторний алгоритм перебирає всі можливі альтернативи, відкидаючи паралельно найгірші варіанти, він безумовно знайде всі найкращі ранжування). Як і з багатьма іншими евристичними процедурами, вибір некомбінаторного алгоритму пояснюється спрощенням його реалізації та значно вищою швидкістю розрахунку; при цьому результати, отримані на практиці, зазвичай співпадають або є дуже близькими до визначених повним перебором.

До того ж, евристичний розрахунок медіани Кемені сам є дещо формалізованою версією методу Борда. Цей метод, як відомо, має лише мінімальне математичне підґрунтя: наприклад, він не розглядає мінімізацію відстані шуканого ранжування до поданих. Втім, він також має доволі широке практичне використання (як приклад можна навести більшість спортивних змагань на професійному рівні, бали за участь в яких нараховуються за загальною схемою саме методу Борда: чим краще виступ спортсмена, чим дальше він просувається у змаганнях, тим більше балів він отримує). Тому можна зробити висновок, що і метод Борда, і евристичний алгоритм для медіани Кемені є евристичними варіаціями формального математичного підходу, і вживаються вони з міркувань складності реалізації, швидкості розрахунку та порівняної точності отриманих результатів.

Таким чином, розглянуті евристичні процедури — методи Сааті, Борда та Кемені — доцільно вживати в рамках системного аналізу, незважаючи на їх можливу некоректність або неформалізованість. Для останніх двох методів існує математично коректний алгоритм, і вживання саме його є можливим, хоча й не завжди доцільним, в практичних реалізаціях. Для методу Сааті слід використовувати індекс узгодженості як чисельний показник коректності процедури, а також отримувати, де можливо, якісні порівняння замість кількісних. Важливою є критична інтерпретація отриманих оцінок з урахуванням того, що вони можуть містити деяку похибку, пов’язану з особливістю початкових даних або розрахунку на основі попарних порівнянь, а також контексту задачі, що розглядається.