11.2. Нечёткая логика

Математическая теория нечётких множеств (fuzzy sets) и нечёткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Данные понятия были впервые предложены американским учёным Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечётких и приближённых рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Прежде чем нечёткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всём мире, прошло не одно десятилетие с момента зарождения теория нечётких множеств. И на этом пути развития нечётких систем принято выделять три периода.

Первый период (конец 60-х–начало 70 г.г.) характеризуется развитием теоретического аппарата нечётких множеств (Л. Заде, Э. Мамдани, Беллман). Во втором периоде (70–80-е годы) появляются первые практические результаты в области нечёткого управления сложными техническими системами (парогенератор с нечётким управлением). Одновременно стало уделяться внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечёткой логике, разработке нечётких контроллеров. Нечёткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике. Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечётких экспертных систем, а области применения нечёткой логики заметно расширяются. Она применяется в автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других.

Триумфальное шествие нечёткой логики по миру началось после доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечёткая логика получила признание после того как в 1988 годуэкспертная система на основе нечётких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи - применений в настоящее время исчисляется тысячами.

Математический аппарат

Характеристикой нечёткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function). Обозначим через MFc(x) – степень принадлежности к нечёткому множеству C, представляющей собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества. Тогда нечётким множеством С называется множество упорядоченных пар вида . Значениеозначает отсутствие принадлежности к множеству, 1 – полную принадлежность.

Проиллюстрируем это на простом примере. Формализуем неточное определение "горячий чай". В качестве x (область рассуждений) будет выступать шкала температуры в градусах Цельсия. Очевидно, что она будет изменяться от 0 до 100 градусов. Нечёткое множество для понятия "горячий чай" может выглядеть следующим образом:

Так, чай с температурой 60 С принадлежит к множеству "Горячий" со степенью принадлежности 0,80. Для одного человека чай при температуре 60 С может оказаться горячим, для другого – не слишком горячим. Именно в этом и проявляется нечёткость задания соответствующего множества.

Для нечётких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции. Самыми основными, необходимыми для расчётов, являются пересечение и объединение.

Пересечение двух нечётких множеств (нечёткое "И"): A B:

Объединение двух нечётких множеств (нечеткое "ИЛИ"):

При имеем случай симметричной треугольнойфункции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки .

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четвёрка чисел :

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Рис. 11.1. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечёткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.

Рис. 11.2. Гауссова функция принадлежности

Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображается вместе на одном графике. На рис.11.3 приведён пример описанной выше лингвистической переменной "Цена акции", на рис.11.4 – формализация неточного понятия "Возраст человека". Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству "Молодой" равна 0, "Средний" – 0,47, "Выше среднего" – 0,20.

Рис. 11.3. Описание лингвистической переменной "Цена акции"

Рис. 11.4. Описание лингвистической переменной "Возраст"

Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7.

Нечёткий логический вывод

Основой для проведения операции нечёткого логического вывода является база правил, содержащая нечёткие высказывания в форме "Если - то" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия:

• Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.

• Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечётких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида:

. . .

. . .

где – входные переменные; y – выходная переменная;– заданные нечёткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечёткого вывода является чёткое значение переменной y* на основе заданных чётких значений .

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечёткости (фазификация), нечёткий вывод, композиция и приведение к чёткости, или дефазификация (рис.11.5).

Рис. 11.5. Система нечёткого логического вывода

Алгоритмы нечёткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечёткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Рассмотрим подробнее нечёткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространённый способ логического вывода в нечётких системах. В нём используется минимаксная композиция нечётких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.

• Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как .

• Нечёткий вывод. Сначала определяются уровни "отсечения" для левой части каждого из правил:

Далее находятся "усечённые" функции принадлежности:

• Композиция, или объединение полученных усечённых функций, для чего используется максимальная композиция нечётких множеств: , где MF(y) –функция принадлежности итогового нечёткого множества.

• Дефазификация, или приведение к чёткости. Существует несколько методов дефазификации. Например, метод среднего центра, или центроидный метод: 

Геометрический смысл такого значения – центр тяжести для кривой MF(y). Рис.11.6 графически показывает процесс нечёткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечётких правил R1 и R2.

Рис. 11.6. Схема нечёткого вывода по Мамдани

Интеграция с интеллектуальными парадигмами

Гибридизация методов интеллектуальной обработки информации – девиз, под которым прошли 90-е годы у западных и американских исследователей. В результате объединения нескольких технологий искусственного интеллекта появился специальный термин – "мягкие вычисления" (soft computing), который ввел Л. Заде в 1994 году. В настоящее время мягкие вычисления объединяют такие области как: нечёткая логика, искусственные нейронные сети, вероятностные рассуждения и эволюционные алгоритмы. Они дополняют друг друга и используются в различных комбинациях для создания гибридных интеллектуальных систем.

Влияние нечёткой логики оказалось, пожалуй, самым обширным. Подобно тому, как нечёткие множества расширили рамки классической математическую теорию множеств, нечёткая логика "вторглась" практически в большинство методов Data Mining, наделив их новой функциональностью. Ниже приводятся наиболее интересные примеры таких объединений.