Знакомство с математическими моделями экономики

Слово «модель» хорошо знакомо и понятно каждому старшекласснику. И все же нам кажется, что после знакомства с этим небольшим разделом книги для многих из вас, дорогие читатели, термин «модель» приобретет новый более широкий и глубокий смысл.

Кто из ребят не мечтал в детские годы заниматься в кружке авиамоделирования? А кто из нас может равнодушно пройти мимо хорошо сделанной (и даже действующей) модели заводского цеха, морского судна, лунохода? Все эти модели с определенной точностью в уменьшенном масштабе отражают основные черты оригинала. Но во многих случаях это не просто эффектная игрушка. Известно, например, что проектировщики будущих гидроэлектростанций предварительно изучают процессы предстоящего перекрытия реки и возведения плотины на точно выполненных моделях. А авиаконструкторы уже давно научились не только делать модели будущих самолетов, но и создавать в аэродинамических трубах модели будущих полетов на различных высотах и скоростях. В наземных лабораторных условиях, моделируя ситуацию полета, ученые и инженеры имеют возможность проверить свои расчеты, испытать ту или иную конструкцию на прочность и т. д.

А что же такое математическая модель? Это описание какого-либо реального процесса или некоторой исследуемой ситуации на языке математических формул и соотношений. Помните традиционные задачи на составление уравнений: «Два автомобиля выехали навстречу друг другу...». В таких примерах школьники, как правило, быстро и легко составляют необходимые математические уравнения, даже не подозревая о том, что они тем самым строят именно математическую модель рассматриваемой ситуации. В подробных задачах все так просто и понятно, что слова «математическая модель» кажутся даже неуместными. И тем не менее, налицо факт описания реального процесса на языке абстрактных математических символов. Особенно хорошо это видно, когда мы имеем дело с гораздо более сложными процессами и явлениями, системами и ситуациями.

Да, математическая модель — это абстракция, но нередко приводящая опытных исследователей к важным практическим результатам и выводам. Прекрасным подтверждением сказанному является история открытия планеты Нептун. Всем хорошо известно, что существование этой планеты было теоретически предсказано французским астрономом Леверье в 1846 г. Ученый добился выдающегося успеха благодаря исследованию математической модели, описывавшей движение уже известных к тому времени шести планет Солнечной системы. Задумайтесь еще раз над этим фактом. С одной стороны — вся Солнечная система, с другой — ее математическая модель, поместившаяся на нескольких листах бумаги.

Метод математических моделей уже давно успешно применяется исследователями в области науки и техники. Но во второй половине XX века он пережил свое второе рождение. Это произошло благодаря ЭВМ, которые позволили специалистам успешно работать со значительно более сложными моделями, содержащими уже тысячи разнообразных параметров и неизвестных величин. Пришла эра математических моделей, гораздо более полно и точно отражающих многие сложные реальные процессы и ситуации, интересующие человека.

Подчеркнем и еще одно важное обстоятельство. Хорошие математические модели, построенные на основе изучения происходящих вокруг процессов, позволяют специалистам правильно ориентироваться в окружающей обстановке, предвидеть последствия принимаемых решений и, главное,— выбирать наиболее правильные действия. А это особенно важно в экономике.

Огромное значение математических моделей для экономики одним из первых понял Карл Маркс. Глубоко исследовав принципы капиталистического производства, он описал их соответствующими математическими соотношениями и получил на этой основе ряд важных количественных оценок.

Познакомимся с одной из классических моделей Маркса, позволяющей в обобщенном математическом виде описать понятие «стоимости».

Предположим, что общество производит N различных товаров. Каждый товар имеет свою стоимость. Обозначим через q_i стоимость единицы товара номера i (i = 1, 2, ... , N). Естественно, что эта величина должна включать в себя стоимость других товаров (сырья, деталей и т. д.), которые были использованы на производство товара номера 1. При этом необходимо учитывать количество каждого из товаров j (j = 1, 2, ..., N), которое было затрачено на производство единицы i-го товара. Для этого вводим набор параметров а_ij. Заметим, что если для производства товара номера iнекоторые виды товаров не используются (например, товары номеров k и l), то соответствующие параметры будут равны нулю (a_ik = 0, a_il = 0).

Таким образом, стоимость всех товаров, затраченных на производство единицы товара номера i, равна

Вторым важнейшим компонентом, из которого складывается стоимость товара, является труд, вложенный на производство единицы i-го товара. Мы обозначим его через r_i.

Теперь можем составить общее математическое соотношение, определяющее полную стоимость единицы товара:

 (i = 1, 2, ... , N).

Рассматривая все виды товаров, мы получим систему N уравнений с N неизвестными: q₁, q₂, ... ,q_N.  Из этой системы могут быть определены стоимости единиц всех видов товаров, но при условии, что нам известны числа а_ij и величины r_j.

Отметим, что способ определения величин r_j является весьма сложным и даже неоднозначным. В самом деле, ведь соизмерить между собой стоимости различных видов труда совсем не просто. Однако мы не будем сейчас углубляться в сущность этого вопроса, а лишь подчеркнем важный для нас в данном случае вывод: рассмотренная математическая модель показывает принципиальную возможность численного определения стоимостей товаров через стоимости различных видов труда.

Как уже отмечалось выше, благодаря появлению ЭВМ в последние 2—3 десятилетия началось стремительное развитие экономико-математических исследований. Особая роль при этом принадлежит качеству математических моделей. Здесь очень важно в каждом конкретном случае найти золотую середину между желанием как можно точнее отразить в модели все детали рассматриваемой ситуации и стремлением упростить модель для возможности выполнения необходимых расчетов. Переусложнение также вредно, как и переупрощение. И главное в моделировании, да и вообще в применении математических методов в экономике, — правильный выбор цели и строгое обоснование исходных предпосылок. В противном случае, даже несмотря на грамотное выполнение всех математических преобразований и вычислений, можно прийти к неверным выводам, незаметным на первый взгляд.

Итак, мы познакомились с понятием математического моделирования и ролью этих моделей в экономике. В заключение добавим, что для целого ряда типичных задач планирования и управления именно на основе построения хороших математических моделей специалистам удалось разработать эффективные алгоритмы для нахождения оптимальных решений. Многие из них успешно реализованы на практике и с помощью ЭВМ позволили получить для нашего народного хозяйства огромный экономический эффект.