23. Функции полезности

До сих пор обоснование выбора решений осуществлялось с позиций объективиста, платежи выражались в форме реальных денег. Имеются многочисленные случаи, когда при анализе следует использовать скорее полезность, чем реальную величину платежей. Определение полезности является субъективным, оно зависит от отношения ЛПР к риску.

Для составления представления о склонности или несклонности к риску наиболее пригодно понятие простого шанса или простой лотереи, под которой понимается лотерея с двумя исходами, вероятности которых известны и в сумме равны 1, а также понятие гарантированного эквивалента, под которым понимается такой гарантированный доход, который для данного ЛПР эквивалентен простому шансу.

Простой шанс представляется набором L = {x1, x2 , p } , где х1 − выигрыш с вероятностью р, х2 − выигрыш с вероятностью (1 − р), x1 >x2. Например, если из 1000 лотерейных билетов 1 приносит выигрыш 1 млн. руб, а остальные – ничего, то такая лотерея представляет собой простой шанс вида

L = {1, 0, 0.001}

Под гарантированным эквивалентом понимают сумму, которую ЛПР согласно заплатить за право участия в простой лотерее. Склонность или несклонность ЛПР к риску определяется в зависимости соотношения ожидаемого выигрыша в простую лотерею и гарантированного эквивалента В.

Если гарантированный эквивалент В больше ожидаемого выигрыша в простую лотерею: px1 + (1− p)x2 < B и ЛПР согласен заплатить сумму, равнуюВ, за право участия в данной лотерее, т.е. за (100р)% -й шанс выиграть х1 д.е., то он считается склонным к риску. Если гарантированный эквивалент меньше ожидаемого выигрыша в простую лотерею, т.е. px1 + (1− p)x2 > B и ЛПР

согласится заплатить за право участия в лотерее только В, то он не склонен к риску. Если гарантированный эквивалент для ЛПР совпадает с математическим

56

ожиданием выигрыша в простую лотерею: px1 + (1− p)x2 = B , то ЛПР безразличен (нейтрален) к риску.

Определим функцию полезности на лотерее L = {x1 , x2 , p }:

u(x1, x2 , p) = pu(x1) + (1− p)u(x2 ) . Соответствие лотереи гарантированному

эквиваленту означает, что их полезность для ЛПР одинакова:

u(B) = u(x1, x2 , p) = pu(x1) + (1− p)u(x2 ) . Учитывая, что функция полезности

является возрастающей, получаем:

если ЛПР склонен к риску, то

u(B) = pu(x1) + (1− p)u(x2 ) > u( px1 + (1− p)x2 ),

и график функции полезности u(x) является выпуклым вниз;

если ЛПР не склонен к риску, то

u(B) = pu(x1) + (1− p)u(x2 ) < u( px1 + (1− p)x2 ),

и график функции полезности u(x) является выпуклым ввер если ЛПР безразличен к риску, то u(B) = pu(x1) + (1− p)u(x2 ) = u( px1 + (1− p)x2 ) (37) и функция полезности u(x) линейна.

Рассмотрим влияние свойств функций полезности на однозначность выбора оптимального решения на примере задачи о страховании. Почему одни люди страхуются, а другие нет? Кто принимает оптимальное решение, а кто ошибается? Оказывается, никто не ошибается, а все принимают оптимальные решения. Только это оптимальное решение является разным для различных типов функций полезности, т.е. не существует единственного оптимального решения.

Пусть финансовое состояние индивидуума оценивается заданным значением W. Предполагается, что можно вычислить вероятность р потери некоторой части этого богатства, измеряемой величиной L ≤W (например, в результате несчастного случая). Индивид может купить страховой полис, в соответствии с которым ему возместят нанесенный ущерб в размере q. Плата за страхование составляет πq, где π − доля страхования в объеме нанесенного ущерба. Проблема состоит в определении значения q.

Исследуем задачу максимизации ожидаемой полезности финансового состояния индивидуума в ситуации, когда с вероятностью р страховой случай происходит и с вероятностью (1 − р) − не происходит. Тогда задача сводится к поиску максимума по q ожидаемой полезности капитала индивида:

[ pu(W − L − πq + q) + (1− p)u(W – π)

Применим необходимое условие оптимальности − продифференцируем выражение в квадратных скобках и приравняем производную к нулю предполагается, что функция полезности вогнута − ЛПР не склонен к риску):

[ pu′(W − L − πq + q)(1− π ) + (1− p)u′(W − πq)(− π )] = 0.

Оптимальное значение q находится как решение получившегося уравнения в предположении, что вид функции полезности известен. Рассчитаем ожидаемую прибыль страховой компании, учитывая, что страховой случай имеет вероятностный характер.

Если страховой случай произошел, компания получает доход (πq − q), иначе ее доход равен πq, ожидаемая прибыль страховой компании равна

q(π − p) . Конкуренция между страховыми компаниями уменьшает прибыль, которая в условиях совершенной конкуренции стремится к нулю, т.е. π ≈ p.

Если это соотношение ввести в условие ожидаемой полезности, получим

u′(W − L + (1− π )q* ) = u′(W − πq* ) .

Если ЛПР не склонен к риску (вторая производная функции полезности отрицательна), то из равенства первых производных следует равенство аргументов: q* = L , т.е. страховаться целесообразно на сумму возможного ущерба.