3.1 Понятие о математической статистике

В энциклопедии дано следующее определение математической статистики - это раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. Статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо большей или меньшей обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Предметом математической статистики является формальная математическая сторона статистических методов исследования, безразличная к специфической природе изучаемых объектов.

В теории вероятностей имеют дело с вероятностями случайных событий, случайными величинами, их математическими ожиданиями, дисперсиями, законами распределения, функциями распределения и плотностями вероятностей. При этом считалось, что все эти функции известны. В практических задачах положение иное. Единственное, что можно сделать при изучении случайных явлений – это ставить опыты. И все характеристики, перечисленные выше, мы должны получить из этих опытов. Всякий эксперимент связан с ошибками наблюдений и измерений, поэтому характеристики из опыта получаются приближенные. Следовательно, надо уметь оценить ошибку полученного приближенного значения для найденной характеристики. В вероятностных задачах еще надо учитывать надежность полученных результатов (т.е. вероятность того, что проведенные по результатам опыта вычисления дают заданную точность).

Задача состоит в том, чтобы по результатам поставленных экспериментов (наблюдений, измерений и т.д.) составить представление о той вероятностной ситуации, с которой мы столкнулись. При этом надо не только сделать выводы из поставленных экспериментов, но и организовать их наиболее рациональным образом.

Задача сводится к тому, чтобы на основании выборочных данных сделать выводы о свойствах генеральной совокупности. Исследование проводится в несколько этапов:

первый – построение ряда распределений для выборочных значений случайной величины, группировка их по интервалам, определение частот и частостей в каждом интервале, построение графика распределения (гистограммы, полигона и т.д.);

второй – определение точечных числовых оценок распределения среднего х; дисперсии S²{x}, коэффициентов вариации v{x}; асимметрии А^*, эксцесса Е^* и т.д.;

третий – определение интервальных оценок, которые дают уверенность (с определенным риском α) в том, что параметр генеральной совокупности лежит внутри интервала, связанного с точечной оценкой;

четвертый – аппроксимация выборочного распределения теоретическим законом распределения или подходящей эмпирической кривой (с проверкой адекватности принятого решения).

До последнего времени большинство технологических работ ограничивалось двумя первыми этапами, при этом использовались лишь элементарные алгебраические операции при вычислении X и S²{x}, а не вероятностно-статистический метод познания, который начинается на третьем этапе [5].