6.9 Модели теории игр

На практике не редко возникают ситуации, когда интересы различных подразделений в строительстве не совпадают. Такие ситуации называются конфликтными, а модели, с помощью которых эти ситуации анализируются – игровыми.

Теория игр - это математическая теория разрешения таких ситуаций, в которых сталкиваются интересы сторон, преследующих различные цели. Игра представляет собой математическую модель конфликтной ситуации, с помощью которой участвующие в ней стороны, действуя по определенным правилам, пытаются найти стратегию поведения гарантирующую, в результате разрешения конфликта, достижение желаемой цели.

Результат действий одной из сторон зависит не только от её действий, но и от действий, выбранных противниками. Таким образом, задачей игр является установление таких способов действий, которые обеспечивают наибольшую выгоду каждого из участников игры.

Наибольшее развитие в теории игр получило изучение так называемых парных игр с нулевой суммой. Иначе говоря, использование таких конфликтных ситуаций, в которых имеются две враждующие стороны и выигрыши, получаемые одной стороной в ходе конфликта и в результате выбора обеими сторонами определенных стратегий, в точности равны проигрышам другой. При этом стратегия – это совокупность правил и рекомендаций по ведению игры от начала до конца. Условия игры задаются так называемой матрицей игры или платежной матрицей. Она показывает плату играющих сторон в случае, когда одна сторона выбирает стратегию A_i, а другая - стратегию B_j. Если сторона А имеет n стратегий, то такая игра называется игрой размерности n × m.

Приведем пример платежной матрицы, заимствованной из [20].

Она отражает ситуацию, в которой сторона А для достижения цели может выбрать одну из трех стратегий А₁ ,А₂, А₃. В то же время сторона В может ответить любой из четырех стратегий В₁, В₂, В₃, В₄. Цифрами в платежной матрице показаны выигрыши и проигрыши.

Из таблицы 21 следует, что сторона В проигрывает столько, сколько выигрывает сторона А. Цель игры для стороны А - найти стратегию, обеспечивающую максимальный гарантированный выигрыш, а цель стороны В – выбрать стратегию, обеспечивающую минимальный проигрыш.

Таблица 21 - Платежная матрица

Очевидно, сторона А выберет стратегию A_j, гарантирующую получение максимального среди минимальных выигрышей, равный 18 единицам. При этом сторона В ответит стратегией В₃, которая гарантирует ей минимальный из максимальных проигрышей, также равный 18 единицам. Любые другие ситуации могут либо только уменьшить выигрыш стороны А, либо увеличить проигрыш стороны В.

Такое понятие теории игр как компромиссное (равновесное или эффективное) решение помогает более глубокому выяснению принципов оптимальности в процессах принятия решений.

Следует отметить, что теория игр в том виде, как она сейчас сложилась, представляет собой скорее раздел "чистой", а не прикладной математики. Впервые основные положения этой науки были изложены в 1944 году в книге Неймана и Моргенштейна "Теория игр и экономическое поведение". Теория игр представляет собой пример того, как можно математизировать задачи, которые обычно решались чисто экспериментальным путем, без использования количественных измерителей.