4.10 Планы для построения полиномиальных моделей второго порядка

Полином второго порядка от n переменных имеет вид:

Y = b₀ + b_iX_i +b_iiX_i² + b_ijX_iX_j (4.65)

Существует большое количество планов для построения данного вида регрессии, наиболее лучшие из них представлены в «Таблицах планов экспериментов» [30].

Все эти планы, помимо различий в свойствах, можно разделить на две большие группы: симметричные и несимметричные. К первым относятся те, у которых выполняется условие:

(4.66)

Все остальные называются несимметричными.

Расчет коэффициентов регрессии для симметричных планов осуществляется по ковариационно-корреляционной матрице, которую в общем виде можно представить следующим образом:

(4.67)

где a^*; N^*; r^*;a^-1; p^-1; p^* - элементы матрицы.

Коэффициенты регрессии находят по упрощенной схеме:

(4.68)

Коэффициенты регрессии несимметричных планов находят по матрице для расчета м.н.к.-оценок параметров моделей, которая в общем виде выглядит следующим образом и обозначается L (таблица 7).

Таблица 7 - Матрица для расчета м.н.к. - оценок параметров моделей

Коэффициенты регрессии вычисляются по формуле:

(4.69)

Это означает, что оценку каждого параметра получают как скалярное произведение соответствующей строки матрицы L на вектор наблюдений У, который в общем виде может быть представлен следующим образом (таблица 8):

Таблица 8 – План и результаты эксперимента

Тогда, например, свободный коэффициент регрессии будет вычисляться следующим образом:

В₀=Ө₀₀У₁+ Ө_0iiУ₂+ Ө_0jjУ₃+ Ө_0iУ₄+ Ө_0jУ₅+ Ө_ijУ₆+ Ө_0кеУ₇+…+ Ө_0кеУ_n (4.70)

Квадратичный коэффициент:

В_ii= Ө_ii0У₁+ Ө_iiiiУ₂+ Ө_iijjУ₃+ Ө_iiiУ₄+ Ө_iijУ₅+ Ө_iiijУ₆+…+ Ө_iiкеУ_n (4.71)