Метод последовательных сравнений

Этот метод состоит в систематической проверке оценок на базе их последовательного сравнения.

Процедура последовательных сравнений состоит в следующем. Эксперту представляется перечень факторов, которые необходимо оценить по их относительной важности и ранжировать. Наиболее важному фактору придается оценка ₁ = 1, а остальным факторам — оценки _i между 0 и 1 в порядке их относительной важности.

Затем эксперт устанавливает, является ли фактор с оценкой 1 более важным, чем комбинация остальных факторов. Если это так, то он увеличивает оценку и,, чтобы она была больше, чем сумма всех остальных, т.е.

Если нет, то он корректирует оценку -и, (если необходимо) так, чтобы она была меньше суммы всех остальных, т.е.

Далее определяется, важнее ли второй наиболее важный фактор, чем все остальные факторы, получившие более низкие оценки; повторяется та же процедура, что и для u₁. Процедура последовательных сравнений продолжается вплоть до (п — 1)-го фактора.

Рассмотрим условный пример [7.1]. Представим, что возможны четыре результата, которые необходимо взвесить по их значимости. Процедура взвешивания будет состоять в следующем.

Упорядочим четыре результата по их значимости. Пусть О₁ — наиболее важный результат, O₂ — следующий по важности, далее идут O₃ и O₄.

Присвоим вес 1,00 наиболее важному результату и некоторые другие веса — остальным результатам. Так, эксперт может приписать результатам O₁, O₂, O₃ и O₄ веса 1,00; 0,80; 0,50 и 0,30 соответственно.

Обозначим эти величины символами v₁, v₂, v₃, v₄; их следует рассматривать как первые оценки "истинных" значений O₁, O₂, O₃ и O₄.

Проведем сравнение O₁ c O₂, O₃ и O₄, т. е. выясним, что выберет эксперт, если ему предоставить возможность "получить" результат O₁ или сумму результатов О₂, O₃ и O₄.

Предположим, он утверждает, что О₁ предпочтительнее этой суммы. Тогда значение оценки v₁ следует изменить так, чтобы выполнялось неравенство v₁ > v₂ + v₃ + v₄. Например, можно принять, что v₁ = 2,00; v₂ = 0,80; v₃ = 0,50; v₄ = 0,30. Отметим, что первоначальные значения оценок для O₂, O₃ и О₄ остались без изменений. Сравним далее O₂ с O₃ и O₄, Предположим, что суммарный результат O₃ и O₄ более предпочтителен. Тогда требуется дальнейшее изменение первоначальных оценок. Например, можно принять v₁ = 2,00; v₂ = 0,70; v₃ = 0,50; v₄ = 0,30. Если эти оценки не противоречат мнениям экспертов, можно их нормировать, разделив каждую из них на сумму всех оценок, которая в данном случае равна 3,50.

Обозначив нормированные оценки символами _j, имеем:

Итого 1,00.

Используя предыдущий пример, сформулируем общую процедуру метода оценки весов на основе последовательных сравнений.

Шаг 1. Упорядочить результаты в соответствии с их важностью с точки зрения эксперта.

Пусть О₁ представляет наиболее важный результат, O₂ — следующий по степени важности и т. д., а O_т — наименее важный.

Шаг 2. Приписать вес 1,00 результату О₁ (т. е. ₁ = 1,00) и другие веса -всем остальным результатам.

Шаг 3. Сравнить О, с O₂ + O₃ + , ..., + O_т.

а) если О₁ предпочтительнее O₂ + O₃ +,...,+ O_т, изменить (в случае необходимости) значение u₁, так, чтобы выполнялось неравенство u₁ > u₂ + + u₃,..., + u_m. При этой корректировке, так же как и при всех остальных, следует стремиться к тому, чтобы веса набора (u₂, u₃ и т.д.) остались без изменений. Далее следует перейти к шагу 4;

б) если O₁ и О₂ + О₃ +,...,+ О_т равноценны, то изменить (в случае необходимости) значение u₁ так, чтобы выполнялось равенство u₁ = u₂ + u₃ + + ,..., + u_m и затем перейти к шагу 4;

в) если результат О₁ менее предпочтителен, чем O₂ + О₃ + ,...,+ О_m, то изменить (в случае необходимости) значение и, так, чтобы выполнялось неравенство u₁ < u₂ + u₃ + , ..., + u_m. Далее сравнить О₁ с О₂ + О₃ + , ..., + О_т_, и повторять описанную процедуру до тех пор, пока О₁ будет или предпочти тельнее, или равноценен всем остальным результатам.

Шаг 4. Сравнить О₂ с O₃ + O₄ +,..., + О_т и выполнить весь шаг 3.

Шаг 5. Продолжить шаг 4 до тех пор, пока не будет выполнено сравнение О_т-2 с О_m-1.

Шаг 6. Преобразовать каждое полученное значение u_j в нормированное '_j, разделив соответствующие веса на . В итоге сумма должна быть равна 1,00.

Описанный метод становится громоздким, когда число результатов равно или более семи. В этом случае может быть использована следующая процедура:

1. упорядочить все множество, учитывая предпочтения эксперта (экспертов) и не ставя им в соответствие числовые значения;

2. выбрать случайным образом любой результат из множества, допустим, О_q;

3. разбить случайным образом оставшиеся результаты на подмножества так, чтобы каждое из них содержало не более шести результатов;

4. включить в каждое из подмножеств результат, выбранный в шаге 1;

5. применить процедуру, описанную выше, к каждому подмножеству результатов в отдельности, приписав предварительно некоторое число v_s результату O_q (например, 1, 10 или 100). При этом, корректируя значения оценок остальных результатов v_j значение v_s оставляем без изменений;

6. сравнить оценки и с предпочтениями, полученными в шаге 1. Если в итоге получены непротиворечивые результаты, следует пронормировать оценки. Об обнаруженных противоречиях надо сообщить эксперту, который (в случае необходимости) меняет значения оценок.

Основой описанного подхода является введение в каждое подмножество результатов некоторой стандартной меры, или базиса сравнения. Надежность полученных оценок можно проверить, образуя новые подмножества и используя другие базисные оценки.

Таким образом, применение метода последовательных сравнений основано на предположении о том, что если задан некоторый интервал действительного переменного, скажем от 0 до 1, то эксперт, основываясь на имеющейся у него информации, может установить предварительные оценки для каждого события, а затем уточнить их на основе сравнения с помощью определенной логической процедуры.

Поскольку множества, содержащие семь и более элементов (результатов), трудно упорядочить с помощью метода последовательных сравнений (процедура становится громоздкой), целесообразно разбивать такие множества на несколько подмножеств, каждое из которых включает не более шести результатов.

Например, если имеется 17 результатов, их можно разбить на три подмножества примерно одинаковой величины, а затем производить сравнение (см. [7.1]).

Случайным образом выбирают один результат, например 0₄. Затем разбивают, опять-таки случайным образом, оставшиеся 16 результатов на три подмножества, из которых два содержат пять результатов и одно -шесть. Образуют три подмножества, каждое из которых должно содержать выбранный результат. Например, это можно выполнить так:

Далее применяют описанную выше процедуру последовательных сравнений к каждому подмножеству результатов в отдельности.

Наконец, сравнивают полученные ненормированные оценки с оценками, полученными при первоначальном упорядочении, и выясняют, какое из предпочтений является более обоснованным. В случае необходимости вносят коррективы в первоначальные оценки.

Надежность полученных таким образом оценок можно проверить, образуя новые подмножества и используя другую базисную оценку.

Квалификация (сведение качественных характеристик к количественным) предпочтений в сложных и комплексных проблемах с помощью метода последовательных сравнений при наличии большого числа факторов становится затруднительной. В таких случаях следует попытаться разделить проблему на ряд более простых подпроблем и задач, для которых сравнительно просто выявить предпочтения (см. [7.1]), либо, если это оказывается невозможным, использовать метод парных сравнений.