Аксиоматический метод

Аксиоматический метод представляет собой один из довольно распространенных способов организации научного знания. Особенно широко применяется он в математике и математизированных науках.

Под аксиоматическим методом понимается такой метод, когда ряд утверждений принимается без доказательства, а все остальные знания выводятся из них по определенным логическим правилам. Принимаемые без доказательства положения называются аксиомами, а выводное знание фиксируется в виде теории, законов и т.д.

Аксиома (греч. axioma -- отправное, исходное положение) - положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной утвержденности, исходное положение теории [5.5].

Аксиоматический метод широко применялся еще в глубокой древности. Элементы аксиоматики встречались в трудах Платона, Аристотеля, Гиппократа. По мере развития науки этот метод проник в самые разные области знания. Примерами аксиоматически построенных систем знания могут служить и теория электромагнитного поля Д.К. Максвелла, и эйнштейновская теория относительности, и целый ряд других научных теорий.

К аксиоматически построенной системе знания предъявляется ряд требований, важнейшими из которых являются:

 требование непротиворечивости, согласно которому в системе аксиом не должны быть выводимы одновременно какое-либо положение и его отрицание;

 требование полноты, согласно которому любое положение, которое можно сформулировать в данной системе аксиом, можно в ней доказать или опровергнуть, т.е., иначе говоря, из аксиом должно быть выводимо или это предположение, или его отрицание;

 требование независимости, согласно которому любая аксиома не должна быть выводима из других аксиом (иначе она переводится в разряд теорем).

Большой интерес представляет вопрос об истинности аксиоматических теорий. Необходимым условием их истинности является внутренняя противоречивость. Однако она свидетельствует с достоверностью лишь о том, что теория построена правильно.

Аксиоматически построенная теория может быть признана действительно истинной лишь в том случае, когда истинны как ее аксиомы, так и правила, по которым получены все остальные утверждения теории. Только в этом случае такая теория может верно отражать действительность. Основные достоинства аксиоматического метода:

 аксиоматизация науки требует, во-первых, точного определения используемых понятий и, во-вторых, строгости рассуждений. Обычно в эмпирическом знании то и другое не всегда находится на должной высоте, применение аксиоматического метода требует дальнейшего развития, в первую очередь в этом отношении;

 аксиоматизация упорядочивает знания, исключает из них ненужные элементы, облегчает процесс построения всей системы знания, устраняет двусмысленности и противоречия. Она всесторонне рационализирует организацию научного исследования.

Сфера применения аксиоматического метода расширяется, но остается пока весьма ограниченной. В нематематических науках этот метод играет подсобную роль, и прогресс в его применении здесь существенно зависит от уровня математизации соответствующей области исследования.

Подчеркивая это, В.Н. Садовский писал: "Вопрос о применимости аксиоматического метода в нематематических науках тесно связан с вопросом о возможности использования в этих дисциплинах математических методов вообще. Если в какой-либо дисциплине начинают широко использоваться математические методы, то совершенно неизбежно наступает момент в развитии этой дисциплины, когда актуальной становится проблема * аксиоматизации" (цит. по [5.30, с. 248]).