Характеристическая функция в игре

В кооперативных играх с трансферабельной полезностью, то есть возможностью передачи средств от одного игрока к другому, невозможно применять понятиеиндивидуальных платежей. Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждойкоалицииигроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.

Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалицияN\C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2^N, гдеN— количество игроков), то выигрыш дляCбудет некоторойхарактеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой^[7]) представляется парой(N, v), гдеN— множество всех игроков, аv : 2^N → R— это характеристическая функция.

Подобная форма представления может быть применена для всех игр, в том числе без трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести любую игру из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в обратную сторону возможно не во всех случаях.