Дифференциальные игры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация,поиск

Дифференциальные игры — раздел математической теории управления, в котором изучается управление объектом в конфликтных ситуациях (см.теория игр). В дифференциальных играх возможности игроков описываютсядифференциальными уравнениямиили дифференциальными включениями, содержащими управляющие векторы, которыми распоряжаются игроки. Для выбора своего управления каждый игрок может использовать лишь текущую информацию о поведении игроков. Различают дифференциальные игры двух игроков и многих игроков.

Наиболее исследованными являются дифференциальные игры преследования, в которых количество игроков равно 2, одного называют догоняющим, другого убегающим. Цель догоняющего — приведениевекторана заданноемножествоза возможно короткое время; цель убегающего — по возможности оттянуть момент приходавекторана. Основополагающие результаты в дифференциальных играх получены в 60-е гг. 20 в. вСССРЛ. С. Понтрягиным,Н. Н. Красовским,Е. Ф. Мищенко, Б. Н. Пшеничным и др., вСША—Р. Айзексом, Л. Берковицем, У. Флемингом и др.

Первым, кто исследовал дифференциальные игры, стал Руфус Айзекс(работа1951 года, впервые опубликована в1965 году). А одна из первых проанализированных им игр стала игра «Шофёр-убийца» (homicidal chauffeur game). Надо отметить, что сам Айзекс вместо «шофёра» и «пешехода» подразумевалторпедуи увёртывающийся от неё небольшойкатер.^[1]

Игра преследования—антагонистическаядифференциальная играпреследователя (догоняющего)и преследуемого (убегающего), движения которых описываются системами дифференциальных уравнений:

где — фазовые векторы, определяющие состояния игроковисоответственно;— управляющие параметры, выбираемые игроками в каждый момент времени из заданных компактных множествевклидовых пространств. Цельюможет быть, например, сближение сна заданное расстояние, что формально означает попаданиев-окрестность(). При этом различаются случаи сближения за минимальное время (игра преследования на быстродействие), к заданному моменту времени (игра преследования с предписанной продолжительностью) и до момента достижения игрокомнекоторого множества (игра с «линией жизни»). Сравнительно хорошо изучены игры с полной информацией, когда оба игрока знают фазовые состояния друг друга в каждый текущий момент времени. Под решением игры преследования понимается нахождение ситуации равновесия.