Антагонистическая игра

Антагонистическая игра(игра с нулевой суммой,англ.zero-sum) — терминтеории игр. Антагонистической игрой называетсянекооперативная игра, в которой участвуют дваигрока, выигрыши которых противоположны.

Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой <X,Y,F>, гдеXиY— множествастратегийпервого и второго игроков, соответственно;F— функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y),действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функцияFодновременно представляет и проигрыш второго игрока.

Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого класса некооперативных игр.

Пример

Простейшим примером антагонистической игры является игра «Орлянка». Первый игрок прячет монету орлом или решкой вверх, а второй пытается угадать, как она спрятана. Если он не угадывает — он платит первому одну денежную единицу, если угадывает — первый платит ему одну денежную единицу.

В данной игре каждый участник имеет две стратегии: «орел» и «решка». Множество ситуаций в игре состоит из четырех элементов. В строках таблицы указаны стратегии первого игрока х, в столбцах — стратегии второго игрокаy. Для каждой из ситуаций указаны выигрыши первого и второго игроков.

В аналитическом виде функция выигрыша первого игрока имеет следующую форму:

где x∈Xиy∈Y— стратегии первого и второго игроков, соответственно.

Так как выигрыш первого игрока равен проигрышу второго, то .

Если результат полностью определяется игроком, совершившим последний ход (если правила хода идентичны для игроков), стратегия может быть найдена с помощью функции Гранди.