Свойства

• Эквивалентным является определение С-ядра кооперативной игры в терминах блокирования распределений выигрыша коалициями. Говорят, что коалиция Kблокирует распределение выигрышаx, если найдётся другое распределение выигрышаy, такое, что

,

и для любого участника выполнено.

Тогда С-ядром кооперативной игры называется множество распределений выигрыша, которые не могут быть заблокированы ни одной коалицией.

• С-ядро задаётся системой линейных уравнений и нестрогих линейных неравенств, в связи с чем оно является выпуклыммногогранником.

• С-ядро может быть пустым. Достаточные условия непустоты ядра были сформулированы Л.Шепли:

Теорема.Кооперативная игра ссупермодулярнойхарактеристической функцией имеет непустое ядро.

Необходимые и достаточные условия непустоты ядра были сформулированы О.Бондаревойи, позднее,Л.Шепли:

Теорема.Ядро кооперативной игры непусто тогда и только тогда, когда онасбалансирована.

• Любое равновесие Вальрасапринадлежит ядру, однако обратное неверно. Однако, при некоторых предположенях, если количество агентов в экономике стремится к бесконечности, ядро стремится ко множеству равновесий Вальраса (гипотезаЭджворта).

N-ядро

N-ядро,пред-N-ядро(nucleolus,prenucleolus) —решениякооперативных игр, основанные на минимизации степени неудовлетворённости выигрышем подмножеств участников игры (коалиций).