Сильное равновесие

Сильное равновесие— принцип оптимальности втеории игр,очищениеравновесия Нэша. Кроме устойчивости ситуации вигрек индивидуальным отклонениямучастников, требует также устойчивости к групповым отклонениям.

Формальное определение

Пусть задана игра в нормальной форме . Ситуацияназываетсясильным равновесиемв игре Γ, если для любой коалиции игрокови любого набора стратегийнайдется участник коалицииSтакой, что

.

Сильное равновесие всегда Парето-эффективно, но существует намного реже, нежели равновесие Нэша, в связи с чем не получило широкого распространения.

Эпсилон-равновесие

ε-равновесиевтеории игр— профиль стратегий игроковнекооперативной игры, приблизительно удовлетворяющий условиямравновесия Нэша.

Определение

Для заданной некооперативной игры и неотрицательного действительного параметра ε, профиль стратегий называется ε-равновесием, если ни один игрок не может, изменяя свою стратегию, достичь увеличения своего ожидаемого выигрыша более чем на ε. Любое равновесие Нэшапредставляет собой ε-равновесие для ε = 0.

Формально, пусть — играNлиц со множествами стратегий игрокови вектором функций выигрышаu. Набор стратегийявляется-равновесием в игреG, если:

для всех

Пример

Понятие ε-равновесия используется в теории стохастических игрс неограниченным числом повторений. Следующие примеры демонстрируют игры, не имеющие равновесия Нэша, но обладающие ε-равновесием для любого положительного ε.

Простейшим примером является следующий вариант игры «Орлянка», предложенный Г. Эвереттом. Игрок 1 выбирает сторону монеты, игрок 2 должен ее угадать. Если игрок 2 угадывает правильно, он выигрывает эту монету и игра завершается. В противном случае, если был загадан «орел», игра заканчивается с нулевыми выигрышами, если была загадана «решка», игра повторяется. При бесконечном повторении игры оба участника получают нулевые выигрыши.

Для любого ε > 0 и профиля стратегий, при котором игрок 2 называет «орел» с вероятностью ε и «решку» с вероятностью 1-ε (на любом шаге игры, независимо от предыстории), является ε-равновесием в этой игре. Ожидаемый выигрыш игрока 2 при этом не менее 1-ε. Однако, нетрудно видеть, что ни одна стратегия игрока 2 не может гарантировать ожидаемый выигрыш, равный 1. Следовательно, данная игра не имеет равновесия Нэша.