Равновесии дрожащей руки: формальное определение

Пусть задана игра в нормальной форме . Набор смешанных стратегийигроковqназывается равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность вполне смешанных стратегий {p_ε} →q, что стратегияq_iявляется наилучшим ответом игрокаiна стратегии остальных игроков из набораp_ε.

Как и равновесие Нэша, равновесие дрожащей руки существует в смешанном расширении в любойнекооперативной игрес конечными множествами стратегий игроков.

Пример

Пусть в игре будут два лица. Игра происходит в нормальной форме. Игроки выбирают стратегии (Вверх,Влево) (Вниз,Вправо). Однако, только (В,Л) является равновесием дрожащей руки.

Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию , для некоторого. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он играетЛево, составит:

.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при выборе стратегии Правосоставит:

.

Для достаточно малых значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя стратегию Правос минимальным весом. Аналогично, игрок 1 должен использовать с минимальным весом стратегиюНиз, если игрок 2 использует смешанную стратегию. Следовательно, (В,Л) является равновесием дрожащей руки.

Аналогичные рассуждения не выполняются для профиля стратегий (Н,П). Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он используетЛ, составит:

.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при использовании стратегии П:

.

В этом случае для любых положительных значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя Пс минимальной частотой. Следовательно, (Н,П) не является равновесием дрожащей руки, так как при небольшой вероятности ошибок игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняясь от данной стратеги