Определение

Для заданной игры в нормальной форме и параметра ε > 0, профиль вполне смешанных стратегий называетсяε-собственным, если выполнено следующее условие: для двух чистых стратегий игрокаi,x',x'' ∈X_i, таких, что его ожидаемый выигрыш при использовании стратегииx' меньше, нежели при использованииx'', вероятность использованияx' не превышаетεp, гдеp— вероятность использования чистой стратегииx''.

Профиль стратегий в игре называется собственным равновесием, если он является пределом при ε→0 последовательностиε-собственных вполне смешанных профилей стратегий.

Пример

Рассмотрим вариант игры «орел-решка», приведенный в таблице.

Игрок 1, выбирающий строку, прячет монету одной из сторон вверх. Если Игрок 2, выбирающий столбец, угадывает сторону, он получает эту монету. Однако, в этом варианте игры он имеет еще одну стратегию, забрать монету, не угадывая. Равновесиями Нэшав данной игре являются ситуации, в которых Игрок 2 использует стратегию «забрать монету» с вероятностью 1, а Игрок 1 — любую смешанную стратегию. Более того, любая такая ситуация является также иравновесием дрожащей руки. Интуитивно это означает, что Игроку 1, в условиях, когда Игрок 2 в любом случае забирает монету, нет необходимости оптимизировать свою стратегию.

В то же время, единственным собственным равновесием в этой игре является использование Игроком 1 своих стратегий «орел» и «решка» с вероятностями 1/2, а Игроком 2 — стратегии «забрать монету» с вероятностью 1. Наличие этого равновесия связано с тем, что Игрок 1 по-прежнему учитывает возможность невероятного события, когда Игрок 2 не забирает монету, а пытается угадать. При этом указанная стратегия Игрока 1 будет минимизировать его ожидаемый проигрыш.