Пример применения метода анализа иерархий

Семья среднего достатка решила купить дом. В результате обсуждения удалось определить восемь критериев (показателей, характеристик, факторов), которым должен удовлетворять дом.

У членов семьи были следующие критерии:

1. размеры дома: размеры комнат; число комнат; общая площадь дома;

2. удобное автобусное сообщение: близкая автобусная остановка;

3. окрестности: интенсивность движения транспорта; безопасность; хороший вид; ухоженные окрестности;

4. когда построен дом: не нуждается в объяснении;

5. двор: включает пространство перед домом, сзади, сбоку, а также расстояние до соседей;

6. современное оборудование: посудомоечная машина; мусоропровод; кондиционирование воздуха; система сигнализации и другие подобные устройства в доме;

7. общее состояние: потребность в ремонте; стены; ковер; драпировка, чистота; электропроводка; крыша; водопроводная система;

8. финансовые условия: допускается закладная; условия продажи и банковский кредит; низкие налоги.

В семье имеются варианты домов А, Б, В.

Задача заключается в выборе одного из трех домов-кандидатов.

Порядок решения проблемы следующий.

Шаг 1 состоит в декомпозиции и представлении задачи в иерархической форме (рис. 7.7).

На первом (высшем) уровне находится общая цель — "Дом". На втором уровне находятся восемь факторов, или критериев, уточняющих цель, и на третьем (нижнем) уровне находятся три дома-кандидата, которые должны быть оценены по отношению к факторам (критериям) второго уровня.

Шаг 2 состоит в заполнении матриц попарных сравнений для уровня 2.

Клетки матрицы заполнены в соответствии с субъективными суждениями членов семьи, на основании их предпочтений, восприятия ограничений, возможностей, с использованием шкалы относительной важности от 1 до 9 (табл. 7.16).

Например, на вопрос: какова важность размеров дома относительно удобного автобусного сообщения по отношению к общей цели "выбрать и купить дом"? Члены семьи пришли к соглашению, что размеры существенно важнее и поэтому они внесли 5 в соответствующую клетку матрицы; 1/ 5 автоматически заносится в симметричную относительно диагонали клетку, что соответствует противоположному сравнению. Для большей ясности эти оценки помечены кружками (см. табл. 7.20).

Шаг 3 состоит в заполнении матриц попарных сравнений для уровня 3.

Сравнимые попарно элементы - это возможные варианты выбора дома. Сравнивается, насколько более желателен или хорош тот или иной дом для удовлетворения каждого критерия второго уровня. Получаем восемь матриц суждений размерностью 3x3, поскольку имеется восемь факторов (критериев) на втором уровне и три дома, которые попарно сравниваются по каждому из факторов (критериев). Матрицы вновь содержат суждения членов семьи. Для того чтобы понять суждения, дадим краткое описание домов.

Таблица 7.20.

Покупка дома: матрица попарных сравнений для уровня 2

Дом А. Это самый большой дом, по сравнению с Б и В, с хорошими окрестностями, неинтенсивным движением транспорта; налоги на дом невелики. Двор больше, чем у домов Б и В. Однако общее состояние его не очень хорошее; нужна основательная починка и проведение малярных работ. Из-за того, что дом финансируется банком с высокой процентной ставкой, финансовые условия можно считать неудовлетворительными.

Дом Б. Этот дом немножко меньше дома А, расположен далеко от автобусных остановок, вокруг интенсивное движение транспорта. В нем отсутствуют основные современные удобства. Однако общее состояние очень хорошее. Кроме того, на дом можно получить закладную с довольно низкой процентной ставкой. Это означает, что финансовые условия вполне удовлетворительны.

Дом В. Этот дом очень маленький и в нем нет современных удобств. В окрестностях высокие налоги, но дом в хорошем состоянии и представляется безопасным. Двор больше, чем у дома Б, однако несравненно меньше обширного пространства вокруг дома А. Общее состояние дома хорошее, в нем красивые ковры и обои. Финансовые условия намного лучше, чем для дома А, но не так хороши, как для дома Б.

Результаты суждений семьи представлены в матрице попарных сравнений для уровня 3 (табл. 7.21).

Таблица 7.21.

Покупка дома: матрица попарных сравнений для уровня 3

Шаг 4 состоит в вычислении для уровня 2 приоритетов, наибольшего собственного значения матрицы суждений (l_max), индекса согласованности и отношения согласованности.

Исходной информацией для решения указанной задачи является матрица попарных сравнений для уровня 2 (табл. 7.22).

В табл. 7.22 расчеты производились следующим образом: а) находим значение %[~ первой строки

аналогично вычисляются собственные вектора других строк.

Проводим нормализацию полученных чисел (складываем значения строк)

r = 2,052 + 0,74 + 1,75 + 0,23 + 0,42 + 0,5 + 1,57 + 4,11 = 11,372.

Определяем вектор приоритетов для первой строки

2,052/11,372 = 0,18.

Аналогично вычисляются значения других строк;

б) определяем наибольшее значение матрицы суждений для уровня 2:

l_max = (9,010,18 + (21,86´0,065) + (10,25´0, ´153) + (41´0,02) + (23,3´ ´0,037) + (25,75´0,044) + (10,08´0,138) + (2,55´0,362) = 9,73;

в) индекс согласованности (ИС) равен

ИС = (l_max - п)/(п - 1) = (9,73 - 8)/7 = 0,247;

г) отношение согласованности (ОС) получим путем деления ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка.

Для матрицы размером 8´8 случайная согласованность равна 1,41 (табл. 7.20).

ОС = ИС/1,41 = 0,247/1,41 = 0,175.

Таблица 7.22.