5.6.2. Сведение матричной игры к задаче линейного программирова­ния

При наличии неопределенности, причиной которой является присут­ствие нескольких принципов оптимальности ,удобно воспользоваться двойственной задачей линейного программирования.

Будем считать, что принципу соответствует определенный крите­рий оптимальности. В качествемогут выступать: экономиче­ские, технические, социальные и иные критерии оптимальности. Пока­зателиявляются функцией управляемых факто­ров, и неуправляемых факторов.

Итак, набору принципов ,,...,соответствует набор критериев оптимальности,,…,.

Располагая множеством критериев , необхо­димо определить вектор управляемых переменных, принадлежащий допустимой области решенийX, который обеспечивает оптимальное (в определенном смысле) решение по каждому из частных критериев.

Рассмотрим матрицу игры (2.2.1). Соотношениям отыскания нижней и верхнейцены игры можно поставить в соответствие эквивалент­ные им задачи:

(19)

(20)

где (21)

есть математическое ожидание выигрыша первого игрока. Тогда для любой чистой стратегии У(j) игрока П.

можно записать

(22)

а для любой чистой стратегии Х(i) игрока Р

можно записать

(23)

Следовательно, задачи (2.6.7) — (2.6.11) допускают следующую за­пись в форме задач линейного программирования:

(24)

Нетрудно видеть, что задачи (5.21) и (5.20) взаимнодвойственные, а поэтому их оптимальные значения должны совпадать, т.е. , гдеV— цена игры (требуемое значение эффективно­сти).

Для задачи (2.6.12) положим:

и (25)

а для задачи (2.6.13) положим:

и (26)

Тогда отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока Р приводит к необходимости решения следующей задачи линейного про­граммирования:

минимизировать линейную функцию

(27)

при условиях

(28)

а отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока П приво­дит к необходимости решения следующей задачи линейного про­граммирования:

максимизировать линейную функцию

(29)

при условиях

(30)