5.6.1. Верхняя и нижняя цена игры
Рассмотрим платежную матрицу игры, раскрытую в, виде (рисунок). Здесьi-я строка соответствует,-й стратегии игрокаA; j-й столбец соответствует -й стратегии игрока В.
Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию , тогда, в наихудшем случае (например, если выбор станет известен игроку В), ,он получит выигрыш равный. Предвидя эту возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный в каждой стратегии выигрыш. Таким образом,
α= αij (14)
Величина а называется нижней ценой игры (а — это гарантированный выигрыш игрока А). Очевидно а находится в одной из строк матрицы Е, пусть в, тогда стратегия А называется максиминной.
Итак, если игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то ему при любом поведении игрока В гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньший а.
С другой стороны, противник — игрок В, заинтересован в том, чтобы обратить выигрыш игрока А в минимум, поэтому он должен пересмотреть каждую свою стратегию с точки зрения максимального выигрыша игроком А при этой стратегии. Другими словами, при выборе некоторой стратегии он должен исходить из максимального проигрыша в этой стратегии, равногонайти такую стратегию, при которой этот проигрыш будет наименьшим, то есть не более, чем
β=αij (15)
Величина называется верхней ценой игры, а соответствующая ему стратегия— минимаксной.
Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор стратегий максиминной ими минимаксной соответственно, в теории игр именуют принципом «минимакса», а сами стратегии максиминные и минимаксные — общим термином «минимаксные стратегии».
Вполне определенной игрой или игрой с седловой точкой называется игра, у которой совпадают нижняя и верхняя цены игры, то есть выполняется равенство:
α= αij = = αij = β (16)
При этом V = а = называется ценой игры, а элементсоответствующий равенству, называется седловой точкой.
Простота решения игры с седловой точкой заключается в том, что оптимальные стратегии обоих игроков находятся сразу. Для игрока А это стратегия, для игрока В —. Причем, такое решение обладает свойством устойчивости в том смысле, что, если один из игроков применяет свою оптимальную стратегию, то любое отклонение другого игрока от оптимальной стратегии может оказаться не выгодным для него.
Действительно, пусть игрок А выбрал оптимальную стратегию соответствующуюα= αij =αiojo , то есть игрок А обеспечивает себе выигрыш, равный одному из элементов строки, причем, элемент встолбце наименьший среди них. И если игрок В выберетj-ю стратегию отличную от , то он проиграет сумму, равную (), а игрок А соответственно выиграет ее. Аналогичные рассуждения показывают невыгодность стратегии, отличной от оптимальной, для игрока А, когда В придерживается своей оптимальной стратегии.
Среди конечных игр, имеющих практическое значение, сравнительно редко встречаются игры с седловой точкой. Более типичным является случай, когда нижняя и верхняя цены игры не совпадают (), причем, нетрудно показать, что тогда.Действительно, пусть
α= αij =αKS, это означает, что в k-ой строке элемент ,наименьший, то есть при нахождениив их число попадут значения не меньшие, так как даже в этой строке элементы в других столбцах больше или равны.Значит и
Откуда следует; что, но мы рассматриваем случай, значит. Итак, в играх не имеющих седловой точки, нижняя цена игрывсегда меньше верхней.
Установленный факт означает, что если игра одноходовая, то есть партнеры играют один раз, выбирая по одной чистой стратегии, то в расчете на разумно играющего противника они должны придерживаться принципа минимакса, это гарантирует выигрыш игроку А и проигрышигроку В. Следовательно, при применении минимаксных стратегий величина платежаV ограничена неравенством.
Если же игра повторяется неоднократно, то постоянное применение минимаксных стратегий становится неразумным. Например, если игрок, В будет уверен в том, что на следующем ходу А применит прежнюю стратегию, то он несомненно выберет стратегию, отвечающую наименьшему элементу в этой строке, а не прежнюю.
Таким образом, мы пришли к выводу, что при неоднократном повторении игры обоим игрокам следует менять свои стратегии. Тогда возникает вопрос: а каким образом их менять, чтобы в среднем выигрыш одного и проигрыш другого был аналогично одноходовой игре, ограничиваясь снизу и сверху соответственно?
Для ответа на этот вопрос введем вероятность (относительную частоту), применения игроком Аi-и стратегии, и — вероятность примененияj-й стратегии игроком В. Совокупности этих вероятностей определяют векторы, где
и , где
Эти векторы или наборы вероятностей выбора чистых стратегий называются смешанными стратегиями игроков.
В частности, решение игры с седловой точкой дается векторами и, среди компонент которых,и
Для получения ограничений на средний выигрыш или проигрыш рассмотрим математическое ожидание выигрыша первого игрока
(17)
Если второй игрок В выбрал некоторую смешанную стратегию У, то первому игроку, естественно, считать лучшей ту смешанную стратегию X, при которой достигается
Аналогично, при выборе первым игроком некоторой стратегии X второму игроку следует выбирать стратегию такую, что
Ясно, что зависит отY и зависит отX. Перед каждым игроком, таким образом, возникает задача выбора оптимальной стратегии, под которой для игрока А понимается смешанная стратегия , которая максимизирует математическое ожидание его выигрыша, для игрока В — стратегия, минимизирующая математическое ожидание его проигрыша.
Основная теорема теории игр (доказана фон Нейманом в 1928 году) утверждает:
каждая матричная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий, то есть существуют стратегии и, оптимальные для обоих игроков, причем
Число называют ценой игры.
Примечание. Нулевая сумма означает, что выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.
Из основной теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену и она лежит между нижней и верхней ценами игры
И если одни из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш (проигрыш) его остается неизменным независимо от тактики другого игрока, если, конечно последний не выходит за пределы своих «полезных» стратегий, иначе выигрыш (проигрыш) возрастает.
Это означает выполнение неравенств
, (18)
Примечание. Эти неравенства будут необходимы при сведении матричной игры к задаче линейного программирования [13].
- Оглавление
- Введение
- 1. Сущность риска и его классификация
- 1.1. Объективные и субъективные причины предпринимательского риска
- 1.2. Определение риска
- 1.3. Функции предпринимательского риска
- 1.4. Классификация предпринимательских рисков
- 1.5. Политический риск
- 1.6. Технический риск
- 1.7. Производственный риск
- 1.8. Коммерческий риск
- 1.9. Финансовый риск
- 1.10. Отраслевой риск
- 1.11. Инновационный риск
- 2. Риск и доходность
- 2.1. Виды риска
- 3. Факторы влияющие на уровень предпринимательского риска
- 3.1. Внешние факторы, влияющие на уровень риска
- Внешние факторы, влияющие на уровень риска
- Факторы прямого воздействия
- Факторы косвенного воздействия
- 3.2. Внутренние факторы, влияющие на уровень риска
- 4. Анализ, оценка и управление рисками.
- 4.1. Об управлении рисками
- 4.2. Оценка предпринимательских рисков
- 4.3. Анализ риска
- 4.4. Относительная оценка риска на основе анализа финансового состояния фирмы
- 5. Количественные оценки экономического риска в условиях неопределенности
- 5.1. Принятие оптимальных решений в условиях неопределённости
- 5.2. Матричные игры
- 5.2.1. Понятие игры с природой
- 5.2.2. Предмет теории игр. Основные понятия
- 5.3. Критерии оптимальности в условиях полной неопределенности
- 5.3.1. Критерий гарантированного результата
- 5.3.2. Критерий оптимизма
- 5.3.3. Критерий пессимизма
- 5.3.4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа
- 5.3.5. Критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма) Гурвица
- 5.4. Сравнительная оценка вариантов решений в зависимости от критериев эффективности.
- 5.5. Оптимальность по Парето.
- 5.6. Определение оптимального объёма производства швейного предприятия в условиях неопределённости.
- 5.6.1. Верхняя и нижняя цена игры
- 5.6.2. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования
- 5.6.3. Выбор оптимального ассортимента продукции
- 5.7. Пример количественной оценки риска на основе анализа финансового состояния предприятия
- 6. Основные методы и пути минимизации риска
- 6.1. Диверсификация как метод снижения риска
- 6.2. Передача риска
- 6.3. Страхование предпринимательских рисков
- 6.4. Управление рисками и управление персоналом
- 6.5. Бизнес-планирование
- 6.6. Подбор персонала предпринимательской организации
- 6.7. Организация защиты коммерческой тайны на предприятии
- 7. Риски в производственном предпринимательстве.
- 7.1. Риски невостребованности производственной продукции
- 7.2. Риски неисполнения хозяйственных договоров (контрактов)
- 7.3. Риски усиления конкуренции
- 7.4. Риски возникновения непредвиденных затрат и снижения доходов
- 7.5. Риски потери имущества предпринимательской организации
- 8. Риски в банковском предпринимательстве.
- 8.1. Внутренние риски.
- 8.2. Внешние риски
- 9. Риск-менеджмент на предприятии
- 9.1. Организация системы риск-менеджмента на предприятии
- 9.2. Управление рисками на предприятии
- Заключение.
- Библиографический список