8.4. Робастные методы и процедуры

Многие «наилучшие» оценки в статистике (например, наиболее распространенная на практике оценка среднего значения случайной величины ) обладают тем дефектом, что они являются наилучшими лишь в случае, если выборка наблюдений получена из нормально распределенной совокупности данных и быстро теряют свои оптимальные свойства по мере отклонения распределения от нормального, то есть являются неустойчивыми к отклонениям от нормального распределения. В качестве характеристики устойчивости оценки можно предложить понятие робастности.

Определение робастности оценки. Пусть случайная величина X имеет плотность распределения вероятностей , где вид функцииf известен, а  – неизвестный параметр (может быть величиной векторной). Оценка параметра производится по n наблюдениям . В классической статистике качество оценкиопределяется ее дисперсиейD_fвычисленной в предположении, что выборка получена из генеральной совокупности с плотностью распределения вероятностей

Определим понятие -окрестности распределения f:

где – произвольная плотность распределения вероятностей.

Назовем оценку робастной, если для нее имеет место

То есть робастная оценка – это такая оценка, которая в наихудшем случае (когда достигается max ) имеет наименьшую дисперсию. Нахождение робастной оценки отвечает решению, как говорят в математике, минимаксной задачи. Минимаксное значение есть гарантированный верхний порог дисперсии оценки для любого распределения f из -окрестности.

Минимаксная стратегия широко распространена в таком разделе теории операций как теория игр. В определенном смысле робастная процедура – это «игра» исследователя с природой.

Робастная оценка среднего значения. Если параметр  играет роль центра распределения (среднего значения), то . Робастная оценка параметра в этом случае находится по п наблюдениям решением следующей задачи:

Если – плотность вероятностей нормального распределения, то:

Робастная оценка в этом случае представляет собой некий гибрид оценки средней арифметической и выборочной медианы. Она совмещает в себе эффективность первой оценки и устойчивость второй. Их соотношение определяется величиной степени засорения ечерез величину. Если, то оценка близка к среднему арифметическому. Если, то оценка близка к выборочной медиане.

Робастная оценка имеет вид:

где – вариационный ряд выборочных значений;. Значенияможно найти в таблице 2 [6].

Таблица 2

Значения уровня урезания  = ()

Робастная регрессия. Уравнение регрессии, получаемое методом наименьших квадратов, имеет существенный дефект, заключающийся в том, что при наличии грубых ошибок в данных оценки его коэффициентов сильно искажаются, то есть являются неустойчивыми к отклонениям от обычного предположения в регрессионном анализе, что ошибки в модели регрессииимеют нормальное распределение.

Коэффициенты робастной регрессии вычисляются решением задачи:

где (t) имеет вид (8.29).