Полный факторный эксперимент для двух независимых переменных, варьируемых на двух уровнях (планирование типа 23)

Пользуясь планированием, предоставленным в табл. 4, можно определить: свободный член b₀, три коэффициента регрессии при линейных членах , три коэффициента при парных произведенияхb₁₂, b₁₃, b₂₃, и один коэффициент регрессии при тройном произведении b₁₂₃. Если ограничиться линейным приближением, то останется четыре степени свободы для проверки гипотезы адекватности.

Матрицу планирования для трех независимых переменных получают из планирования для двух переменных, повторив его дважды: один раз при значениях x₃, находящихся на нижнем уровне, второй раз – на верхнем уровне. Если нужно включить в рассмотрение четвертый фактор х₄, то аналогичным образом дважды повторяют планирование для трех переменных: один раз для фактора х₄, находящегося на нижнем уровне, другой раз – на верхнем уровне. В результате получают матрицу планирования, которая будет представлена следующей строкой:

Аналогичным образом могут быть построены планы для сколь угодно большого числа независимых переменных. Легко видеть, что с ростом числа факторов k число опытов растет по показательной функции . Планирования, представленные в табл. 3 и 4, обычно называют планированиями типа 2² и 2³ соответственно. При k независимых переменных мы будем иметь дело с полным факторным экспериментом типа 2^k.

Если при решении той или иной задачи можно ограничиться линейным приближением, то полный факторный эксперимент типа 2^k также оказывается недостаточно эффективным, особенно при большом k. При линейном росте числа независимых переменных число опытов для полного факторного эксперимента растет по показательной функции, в результате слишком много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Например, при k = 2, при линейном приближении, для проверки гипотезы адекватности используется только одна степень свободы, тогда как при А = 6 – уже 57 степеней свободы. Правда, при постановке таких больших экспериментов резко снижается ошибка в определении коэффициентов регрессии, так как при факторном планировании все опыты используются для оценки каждого из коэффициентов регрессии. Но это обстоятельство далеко не всегда является достаточным основанием для постановки большого числа опытов. Часто, особенно на первых этапах исследования, бывает нужно получить некоторую, хотя бы и не очень точную, информацию о процессе при минимальной затрате труда на проведение экспериментов. Если можно ограничиться линейным приближением, то число опытов можно резко снизить, используя для планирования так называемые дробные реплики от полного факторного эксперимента [1].

Поясним идею дробных реплик на конкретных примерах. Допустим, что нам нужно получить линейное приближение некоторого небольшого участка поверхности отклика при трех независимых переменных. Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для полного факторного эксперимента типа 2² произведение х₁х₂ приравнять третьему фактору х₃. Будет получена матрица планирования, представленная в табл. 5.

Таблица 5