Полный факторный эксперимент для двух независимых переменных, варьируемых на двух уровнях (планирование типа 22)

Легко видеть, что все возможные комбинации для двух факторов, варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы поставим четыре опыта так, как это показано в табл. 3. Эта таблица называется матрицей планирования. В первом столбце таблицы приведены значения фиктивной переменной x₀ = 1; во втором и третьем столбцах – значения переменных х₁ и x₂ (эти два столбца образуют собственно планирование); в четвертом столбце записано значение произведения ; наконец, пятый столбец не относится непосредственно к матрице планирования – это вектор значений результатов наблюдений. Первая строка таблицы соответствует первому опыту, в котором обе независимые переменныех₁ и х₂ находятся на нижнем уровне. Во втором опыте первая независимая переменная х₁ находится на верхнем уровне, вторая х₂ – на нижнем, и т. д.

Пользуясь таким планированием, можно вычислить коэффициенты регрессии неполного квадратного уравнения:

в этом случае число опытов будет равно числу оцениваемых параметров – у нас не останется степеней свободы для проверки нуль-гипотезы об адекватном представлении результатов эксперимента выбранной математической моделью. Если есть основания полагать, что изучаемый процесс в заданном интервале варьирования переменных может быть описан линейной моделью, то можно воспользоваться методом наименьших квадратов для определения трех коэффициентов регрессии – одна степень свободы останется для проверки гипотезы адекватности.

Перейдем к рассмотрению экспериментов с тремя независимыми переменными , варьируемыми также только на двух уровнях. Чтобы исчерпать все возможные комбинации трех факторов, варьируемых на двух уровнях, нужно поставить восемь опытов, планируя эксперимент так, как это показано в табл. 4.

Здесь введены два дополнительных упрощения в системе обозначений: символы + 1 и – 1 обозначены просто знаками « + » и « – » и добавлен новый столбец с условными обозначениями строк с помощью малых латинских букв и одной цифры. Буквы а, b, с обозначают, что в соответствующих строчках на уровне + 1 был только один из факторов x₁, х₂, x₃; произведение двух букв ab, bc, ... обозначает, что в соответствующих строчках на верхних уровнях было два фактора: произведение трех буквabc указывает на то, что на верхнем уровне были все три фактора; наконец, символ (1) означает, что все факторы были на нижних уровня х. С помощью такого кодового обозначения матрица планирования, представленная в табл. 2, может быть записана одной строкой:

Аналогичным образом, матрица планирования для табл. 3. запишется строкой:

Таблица 4