5.2.Оптимальность по Парето

Как уже отмечалось, анализ решений при многих критериях в значительной степени сводится к организации в той или иной фор­ме взаимодействия с ЛПР, которое одно только и может разре­шить проблему соизмерения различных критериев. Тем не менее, существует довольно ограниченная область, в которой примене­ние сугубо формального анализа без обращения к ЛПР оказывается весьма полезным. Речь идет о выделении так называ­емого множества эффективных, или оптимальных по Парето, аль­тернатив.

Легко понять, что альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве ре­шения задачи. Ведь для неэффективной альтернативы существует другая, превосходящая ее по всем критериям. Отсюда вытекает важнейший критерий рациональности процесса разработки реше­ния: выбираемый вариант должен быть эффективным.

Эффективной считается такая альтернатива, для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем крите­риям и хотя бы по одному критерию превосходящей ее.

Как же отыскивать эффективные решения? Главное здесь со­стоит в том, что после того, как сформулированы критерии, за­дача отыскания множества эффективных решений на заданном множестве альтернатив является, хоть и сложной, но вполне фор­мальной задачей, не требующей для своего решая обращения к ЛПР. Во многих случаях множество эффективных альтернатив можно отыскать, решая задачу с интегральным критерием оптимальности, представляющим собой сумму отдельных, част­ных критериев с переменными весами. При этом не имеет значе­ния, какие веса брать для начала процесса. Все равно перебира­ются с каким-то заданным шагом все возможные комбинации на отрезке от 0 до 1. После того, как выделено множество эффек­тивных альтернатив, ЛПР может выбрать одну из них, но стро­ить из них комбинации, даже в тех случаях, когда такая комби­нированная альтернатива имеет смысл, нельзя. Она может ока­заться неэффективной и не может рассматриваться в качестве решения задачи.

Мы же отмечали, говоря о различных алгоритмах решения многокритериальных задач, что они фактически отличаются друг от друга формой вопросов, задаваемых ЛПР. Очень часто пыта­ются сформулировать эти вопросы таким образом, чтобы ЛПР указало относительные веса (коэффициенты важности или значи­мости) отдельных критериев, а затем строят так называемую свер­тку критериев, т.е. за интегральный показатель качества альтер­нативы принимают сумму отдельных критериев с коэффициента­ми важности.

Такая методика используется настолько часто, что иногда начинает восприниматься как единственно возможная. К ее достоинствам, помимо простоты, следует отнести то, что по­лучаемая при таком подходе альтернатива заведомо будет эффективной. Однако применение этой схемы основано на дополнительных предположениях, которые не всегда оправ­даны. С математической точки зрения такая сумма частных критериев с коэффициентами важности есть не что иное, как аддитивная функция ценности. Для того, чтобы такая логи­ческая конструкция правильно отражала систему предпочтений ЛПР, необходимо (на этот счет доказаны соответствующие теоремы), чтобы используемые для оценки альтернатив кри­терии обладали свойством взаимной независимости по пред­почтению.

В пункте (5.3.3) были рассмотрены матрица платежеспособ­ного спроса Е (табл.5.4) и ее матрица рисков R (табл.5.5)

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероят­ности Pj того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределеннос­тью. Тогда решение можно принимать, в частности, по правилу максимизации среднего ожидаемого дохода.

Пример 5.11. Прибыль, получаемая компанией при реализа­ции j-го решения, является случайной величиной Е, с рядом рас­пределения:

Математическое ожидание M[E] и есть средняя ожидаемая

прибыль, обозначаемая также Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальную среднюю ожидае­мую прибыль.

Предположим, что в рассматриваемом примере вероятности

1 МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 2

2.МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ 13

2.1. Понятие игры с природой 13

2.2. Предмет теории игр. Основные понятия 15

3. КРИТЕРИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 17

3.1. Критерий гарантированного результата 18

3.2. Критерий оптимизма 22

3.3.Критерий пессимизма 23

3.4.Критерий минимаксного риска Сэвиджа 25

3.5. Критерий обобщенного макснмина (пессимизма-оптимизма) Гурвица 26

4.СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВАРИАНТОВ РЕШЕНИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ КРИТЕРИЕВ ЭФФЕКТИВНОСТИ 28

5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА ЭФФЕКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ 31

5.1.Многокритериальные задачи 31

5.2.Оптимальность по Парето 35

5.3. Выбор решений при наличии многокритериальных альтернатив 41

6.МОДЕЛЬ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ЧАСТИЧНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 45

Максимальная средняя ожидаемая прибыль равна Е₂ = 210931-

и соответствует стратегии компании Р₂.

Далее рассмотрим выбор решения по правилу минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации г-го решения является случайной величиной R_i с рядом распреде­ления:

Математическое ожидание и есть средний ожидаемый

риск, обозначаемый также Правило рекомендует принять ре­шение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше ве­роятностях для матрицы рисков R. Получаем:

Минимальный средний ожидаемый риск равен R₂ =52235 и соответствует стратегии компании Р₂.

Отличие частичной (вероятностной) неопределенности от полной неопределенности очень существенно. Как указыва­лось выше, принятие решений, исходя из критериев оптималь­ности, нельзя считать окончательным, самым лучшим. Это лишь некоторые предварительные соображения. Далее пытаются получить дополнительную информацию о возможностях того или иного варианта решения, о его вероятности, что уже пред­полагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия решений: то ли это было в прошлом, то ли это будет в будущем.

Итак, в рассмотренном примере была получена оптимизаци­онная двухкритериальная задача по выбору наилучшего решения, так как каждое решение имеет две характеристики — среднюю ожидаемую прибыль и средний ожидаемый риск.

Существует несколько способов постановки таких оптимиза­ционных задач. Рассмотрим один из них в общем виде.

Пусть О — некоторое множество операций. Каждая опе­рация «о» имеет две числовые характеристики Е (о) и R (о) (например, эффективность и риск) и разные операции обязатель­но различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции, желательно, чтобы Е было больше, a R меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию в, и обозначать а>в, если Е(а) > Е(в) и R(a) < R(e) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доми­нирующей, а операция в — доминируемой. Ясно, что ни при ка­ком разумном выборе наилучшей операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилуч­шую операцию надо искать среди недоминируемых операций Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.

На множестве Парето каждая из характеристик Е, R — одно­значная функция другой, т.е. по характеристике Е можно опреде­лить характеристику R и наоборот.

Применительно к матричным играм распределение называ­ется Парето — оптимальным, если положение ни одного из иг­роков нельзя улучшить, не ухудшая при этом положение его партнера.

Продолжим анализ рассматриваемого примера. Каждое решение отметим как точку на плоскости (рис.5.5), получили три точки. Чем выше точка тем более до­ходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В рассматривае­мом примере множество Парето состоит только из одной второй операции.

Рис. 5.5. Множество операций

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подхо­дящую взвешивающую формулу, которая для операции Е с харак­теристиками дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула име­ет вид: .Тогда имеем:

Отсюда видно, что стратегия Е₂ — лучшая.

Взвешивающая формула выражает отношение лица, принима­ющего решение к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную формулу, то он согласен на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции при этом увели­чивается не менее, чем на одну единицу. Следует отметить, что эта формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно.

Опишем один из способов выделения паретовского множества вариантов при решении многокритериальных задач, который ус­пешно применялся, в частности, при разработке технических систем и конструкций.

Пусть проектируемая система зависит от r варьируемых пара­метров для каждого из которых есть определенная об­ласть допустимых значений. Кроме этих ограничений, обычно есть еще ограничения, возникающие из-за связей параметров между собой. В целом, есть некоторая область, в которой только и могут находиться допустимые значения параметров. В этой области выбирают N штук пробных точек:

которые, как правило, целесообразно располагать в ней равно­мерно. Оценивание каждого варианта производится по критери­ям Ф₁,…, Ф_к, которые для простоты все надо минимизировать. Результаты, оценивая по каждому критерию, упорядочивают по возрастанию:

где — последовательность номеров точек (своя для каждого

критерия). j=1,k

Пусть, например, есть два критерия и четыре точки (каждая точка имеет r компонентов).

Пусть оказалось, что:

Результаты испытаний и упорядочивания представлены в табл. 5.9.

Таблица 5.9

Затем проектировщик или заказчик называет критериальные ограничения , то есть худшие значения по каждому из кри­териев, на которые еще можно согласиться . Критериаль­ные ограничения не являются абсолютными, они зависят от физи­ческого или экономического смысла критериев, конъюнктурных соображений и т.д. Если эти ограничения слишком жесткие, то мо­жет оказаться, что вообще нет ни одного приемлемого варианта. В этом случае придется идти на какие-то уступки, компромиссы, брать менее обременительные критериальные ограничения.

Пусть в приведенном примере таковы, что в выбран­ные ограничения укладываются: по первому критерию точки 1, 2,3

по второму — 1,2. Ясно, что паретовское множество вариан­тов состоит из точек 1 и 2. Аналогично действуют и в общем слу­чае, когда размерность задачи больше, чем в примере.

Анализ результатов, оценивание вариантов в пробных точках позволяют, в частности:

обнаружить критерии, значения которых мало меняются;

выявить зависимые или противоречивые критерии;

определить взаимосвязь критериев друг с другом;

установить влияние параметров на критерии и в ряде случа­ев попытаться улучшить значения тех или иных критериев за счет корректировки ограничений на параметры.