3.4.3 Игровые модели

Теория игр – это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем участники могут достигать своей цели различными путями. Иными словами, если имеется несколько конфликтующих сторон (лиц), каждая из которых принимает некоторое решение, определяемое заданным набором правил, и каждому из лиц известно возможное конечное состояние конфликтной ситуации с заранее определенными для каждой стороны платежами, то говорят, что имеет место игра. Задача теории игр состоит в выборе такой линии поведения данного игрока, отклонение от которой может увеличить или лишь уменьшить его выигрыш.

• . Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

• . Игра – это действительный или формальный конфликт, в котором принимают участие по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению собственных целей.

• Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же самое), максимально возможный средний проигрыш.

Если имеется два игрока, один из которых может выбрать i–ю стратегию из m своих возможных стратегий (i = 1..m), а второй, не зная выбора первого, выбирает j–ю стратегию из n своих возможных стратегий (j = 1..n). В результате первый игрок выигрывает величину а_ij, а второй проигрывает эту величину. Числа а_ij представляют собой матрицу, строки которой соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго игрока.

Пример.

АО «Силуэт» выпускает женскую одежду двух видов: платья и костюмы, которая реализуется через сеть магазинов. Сбыт продукции во многом связан с с погодными условиями (теплая или холодная).

Затраты на производство и реализацию единицы продукции составляют:

По данным наблюдений фирма может реализовать в мае:

• при условии теплой погоды 1200 костюмов и 3950 платьев,

• при холодной погоде 2000 костюмов и1250 платьев.

Задача. Найти максимальную среднюю прибыль с учетом капризов погоды

В этом случае фирма располагает двумя стратегиями : расчет на теплую погоду (стратегия А) и расчет на холодную погоду (стратегия Б)

• Если фирма примет стратегию А и погода будет теплой (стратегия природы С), то фирма получит прибыль П

П(АС) =1200*(480-270) +3950*(160 – 80) = 568 000 руб.

• Если фирма примет стратегию А и погода будет холодной (стратегия природы Д), то прибыль составит:

П(АД)=1200*(480-270) +1250*(160-80) – 80*(3950-1250) =136 000 руб.

Так как платья будут проданы только в количестве 1250 шт. (при выпуске 3950шт).

• Аналогичным образом определим прибыль в случае применения им стратегии Б

В условиях теплой погоды:

П(БС) =1200*(480-270) +1250*(160-80) – 270*(2000 -1200) = 136 000 руб.

В условиях холодной погоды:

П(БД) = 120*(480 -270) + 1250*(160-80) = 520 000 руб.

Рассматривая фирму и природу в качестве двух игроков (P1 и P2) составим платежную матрицу

Из анализа матрицы следует:

• Фирма (игрокР10 никогда не получит прибыль менее 136 000 руб.

• Если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то прибыль составит 568 или 520 тыс. руб. (в зависимости от выбранной стратегии А или Б)

• Если фирма будет постоянно использовать стратегию А, а природа (игрок Р2) стратегию Д, то прибыль снизится до 136 тыс. руб. Аналогично, если фирма будет использовать стратегию Б, а природа стратегию С.

• Для получения максимального значения средней прибыли фирма должна использовать попеременное использование стратегий A и Б (смешанную стратегию).