Аналіз різних підходів до розв'язання задачі стефана

Задача Стефана досі привертає увагу дослідників складністю математичної постановки задачі. Це одна з найскладніших крайових задач нестаціонарної теплопровідності. Основна складність розв’язання задач типу Стефана пов'язана з наявністю рухливих міжфазних границь, положення яких визначається в ході розв’язання.

Розглянемо одну з постановок задачі Стефана. Знайти й , такі, що

для , , (1)

, де й ,

, де , , , , (2)

для й ,

для . (3)

Функція описує вільну границю, котра не задана й котра повинна бути визначена разом із Співвідношення (3) є умовою на вільній границі. Припущення , пояснюються фізичною сутністю задачі.

Можна розв’язувати цю задачу методом зведення її до нелінійного інтегрального рівняння для функції так, як це пропонується в [1, 266]. Однак, оскільки метод вимагає подання через фундаментальні розв’язки, застосування його, очевидно, обмежується лінійними параболічними рівняннями.

Інше обмеження полягає в тому, що якщо , то інтегральне рівняння для функції може мати неінтегрувальну особливість при . Це іноді можна обійти наближенням вихідної задачі задачами, де .

У монографії А. Фрідмана [1, 285] пропонується метод розв’язання задачі Стефана із застосуванням функції Гріна в наступній постановці:

при , , (4)

при ,

при й , (5)

при .

Він застосовний, як і для задачі (1) – (3), так і у випадку нелінійного параболічного рівняння, і у випадку, коли . Однак, його застосування обмежується задачами, де гранична умова (на нерухомій границі) задається в термінах (але не в термінах ).

У розглянутих вище методах проблема Стефана інтерпретувалася як проблема визначення невідомої границі фаз. Однак А. Н. Тихонов і А. А. Самарський першими у світі вказали (див. [2, 259]) на можливість принципово іншого підходу до постановки й інтерпретації задачі Стефана. А саме, перша задача Стефана є граничним при випадком крайової задачі

,

,

,

якщо

,

.

Основна ідея цього підходу полягає у введенні поняття «ефективної» теплоємності, що включає в себе також приховану теплоту фазового переходу, котра зосереджено виділяється на поверхні розділу фаз. Це дає можливість із використанням -функції Дірака записати єдине квазілінійне рівняння енергії відразу у всій області, зайнятій теплоносійним середовищем, причому умова Стефана є наслідком цього рівняння.

У статті [3, 488] В. А Фомін стверджує, що розв’язання цієї задачі за допомогою рядів Фур'є дозволяє в одномірному випадку дістати всі можливі аналітичні розв’язки. У доповіді аналізується ця теза.