Розвиток математичної науки XX ст. Очима м.В. Келдиша

Роботи Мстислава Всеволодовича Келдиша (10.02.1911–25.06.1978) були присвячені різноманітним питанням механіки, математики, аеродинаміки. А саме: теорії квазіконформних відображень, теорії узагальнених аналітичних функцій, теорії наближень функцій комплексного змінного, теорії крайових задач, теорії стійкості задачі Діріхле, теорії рівнянь в частинних похідних несамоспряженого типу, спектральній теорії несамоспряжених операторів, теорії потенціалу, теорії коливань та ін. [1].

М.В.Келдиш зіграв значну роль в розвитку теорії наближення функцій комплексного змінного рядами поліномів. До цього його підштовхнула робота М.О.Лаврентьєва, в якій було отримано більш широке узагальнення класичної теореми Вейєрштрасса: будь-яка неперервна на обмеженій замкненій множині функція є рівномірною границею поліномів тоді і тільки тоді, коли множина не розбиває площину, тобто являється ніде не щільною, а доповнення до неї – зв’язним. М.В.Келдиш навпаки, дослідив той випадок, коли множина складається із замикання однієї однозв’язної області. Теорема М.В.Келдиша (1945) формулюється так [1]: будь-яка функція, неперервна на замиканні області та аналітична на множині його внутрішніх точок представляється рівномірно збіжним рядом поліномів тоді і тільки тоді, коли доповнення до замикання області є область, що містить в собі нескінченно віддалену точку. М.В.Келдиш розглядав як звичайні диференціальні рівняння будь-кого парного порядку, так і рівняння з частковими похідними еліптичного типу та встановив при загальних обмеженнях на систему наближуючих функцій збіжність розв’язків і збіжність власних значень. Цим він встановив можливість використання цього ефективного методу чисельного інтегрування диференціальних рівнянь в широкому колі задач механіки та математичної фізики [2].

Видатною є робота М.В.Келдиша, виконана разом з Л.І.Сєдовим в 1937р. Ця задача увійшла до всіх підручників під назвою «формула Келдиша-Сєдова» і має такий вигляд: «На границі однозв’язної області задано точки , розташовані у тому порядку, в якому вони виписані. Необхідно знайти функцію , аналітичну в , дійсна частина якої приймає задані значення на дугах , а уявна частина – задані значення на дугах ( )». Келдиш і Сєдов дослідили цю задачу і довели, що вона не має розв’язків, обмежених поблизу всіх кінців дуг та . Але якщо відмовитися від умови обмеженості і вимагати лише обмеженість інтегралу від , то задача буде розв’язуватись з точністю до довільного сталого. Нарешті, вони довели, що задача буде мати єдиний розв’язок, якщо, окрім того, вимагати, щоб була обмеженою поблизу якихось із кінців та задати її значення в деякій точці межі [3].

Важливе місце в математичних дослідженнях Келдиша займають роботи з проблеми Діріхле для рівняння Лапласа. Тут він продовжував практичні дослідження Пуанкаре, Перрона, Валле Пуссена і особливо Вінера, який ввів поняття ємності множини, що є узагальненням електростатичної ємності.

М.В.Келдиш поставив принципово нові питання про стійкість рішення задачі Діріхле при малих змінах граничних умов і початкових даних. Відповідь залежить від вибраної точки на межі, де Келдиш ввів поняття стійкості Діріхле усередині області, в даній межовій точці у всій замкнутій області, і він знайшов достатні і необхідні умови, щоб у всіх трьох випадках були сформульовані критерії стійкості.

Важливою є робота Келдиша, в якій розглянуто довільний лінійний оператор, що переводить будь-яку неперервну на межі функцію в деяку гармонічну всередині області функцію і від якого вимагають виконання двох умов: він має співпадати з класичним розв’язком задачі Діріхле (у всіх випадках, коли він існує) та верхня межа значень оператора всередині області не перевищує максимуму граничних даних. При цьому доведено, що єдиним оператором, що задовольняє цим мінімальним вимогам, являється узагальнений розв’язок задачі Діріхле. Цей результат завершив побудову теорії розв’язності задачі Діріхле з неперервними межовими умовами [2].

З ім’ям М.В.Келдиша також пов'язано становлення сучасної обчислювальної математики. На самому початку 50-х років в МІАН ім. В.А. Стеклова за ініціативою Келдиша була створена група, яка стала займатися як теоретичними, так і практичними питаннями розрахунків на ЕОМ: створенням програмного забезпечення, розробкою мереж – тобто усім тим, з чого «виросли» сучасні інформаційні технології [2]. Роботи М.В. Келдиша в області математики зробили його беззаперечно видатним математиком століття, чиє ім’я буде завжди стояти поруч з іменами Гільберта, Пуанкаре та ін.