4.18. Методика построения функции полезности.

Методика построения функции полезности для любого экономического показателя состоит из таких шагов:

Шаг 1. Определить наилучшие и наиболее плохие из возможных допустимых показателей и присвоить им значение полезности соответственно 100 и 0 (если полезность оценивается за 100-балльной шкалой).

Шаг 2. Рассмотреть несколько промежуточных показателей и указать их значение полезности (каждым экспертом отдельно).

Шаг 3. Рассчитать средние оценки полезности промежуточных значений, указанных экспертами.

Шаг 4. Если наблюдается рассеяние значений какого-то из показателей, то нужно возвратиться к шагу 2, лишь бы согласовать мысли экспертов для достижения приемлемого диапазона рассеяния оценок (шаги 2-4 могут повторяться несколько раз).

Шаг 5. Определение функции полезности через построение функции регрессии методом наименьших квадратов (более простая функция полезности - уравнение прямой). Вид и аналитическая форма функции полезности свидетельствует об отношении субъекта, который принимает решение, к риску.

Пример 4.2

Определение полезности с помощью математических функций.

Условия задачи

Фирма должна принять решение на основе трех показателей эффективности, применяя разное отношение к риску: несклонность, склонность, нейтральность. Показатели эффективности задано лотереями: L1 = (20; 0,4; 10), L2 = (5; 0,5; 6), L3 = (10; 0,7; 30).

Несклонность к риску задана функцией полезности: U(x) = 1-2е^-0,1х.

Склонность задана функцией полезности: U(х) = 0,4х.

Нейтральность задана функцией полезности: U(x) = 4 + 1,2х.

Необходимо: рассчитать премию за риск (надбавку) и определить, каким отношением к риску должна воспользоваться фирма.

Решение

1. Определим предполагаемый (желаемый) выигрыш:

М(х) = = 20 0,4 + 10 0,6 = 14.

Рассчитанный выигрыш показывает, какую среднюю эффективность может иметь фирма от решения не брать участия в лотерее.

2. Определим ожидаемую полезность показателя эффективности при разных отношениях к риску (е = 2,71).

М₁ = (1-2е^-0,1∙20) 0,4 + (1-2е^-0,1∙10) 0,6 = 0,4 - 0,8/2,71² - 1,2/2,71 = 1- 0,109 - 0,443 = 0,448;

М₂ = (0,4 20²) 0,4 + (0,4 10²) 0,6 = 64 + 24 = 88;

М₃ = (0,4 + 1,2 20) 0,4 + (4 + 1,2 10) 0,6 = 11,2 + 9,6 = 20,8.

3. Определим детерминированный эквивалент — гарантированную сумму х, получение которой эквивалентно участия в лотерее. Это среднее значение показателя эффективности для соответствующего отношения к риску:

а) несклонность к риску: l - 2e^-0,1х = М₁. Из этого 2e^-0,1х = 0,276 => - 0,1 х = -1,375 => х = 13,75;

б) склонность к риску: 0,4х² = 88, отсюда х = 14,83;

в) нейтральность: 4 + 1,2х = 20,8, отсюда х = 14. Всегда имеет равенство ‾х.

Δ=‾х –х,

Δ ₁=14-13,75 = 0,25; А₂ =14-14,85 = - 0,85 ; А₃ =14-14 = 0.

Премия за риск, в случаях несклонности к риску показывает, какие средства может потерять инвестор, не рискуя: (0,25/14) х 100% =1,78%.

Премия за риск, в случае склонности к риску показывает, какую величину средств инвестор может дополнительно получить или потерять, рискуя:

(0,85/14) ∙ 100 % = 6,07 %.

Премия за риск, в случае нейтральности всегда 0.

Вывод: В данной ситуации лучше рисковать.

без риска (12 < 30), а директор — в инвестиционный проект (52 > 30).