logo
Яковенко А

Использование понятия лотереи для определения полезности.

Для определения полезности используют понятие лотереи. Для этого эксперту предлагают сравнить две альтернативы:

  1. значение показателя X;

  2. лотерею: получить Хтіп с вероятностью ( 1-р) или Хшах с вероятностью р — L(Xmax; p; Xmim).

Величину вероятности (р) изменяют постепенно к такой величине от 0 до 1, пока, по мнению эксперта, значение показателя X и лотерея L(Xmax; p; Хтіn) станут эквивалентными. Т.е. все возможные результаты размещают с возрастанием. Полезность наиболее плохого результата оценивается как 0, а наилучшего — 1 (или как 100): U(Xmim) = 0; U(Xmax ) = 100.

Для того чтобы оценить промежуточный результат, лицу предлагают принять участие в лотерее. Значение р, при котором лицо откажется от гарантированного результата в пользу участия в лотерее, берут для расчета полезности: U(Xj) = pU(Xmax) + (1-p)U(Xтіп)=100. Т.о. из множества значений известного показателя X эксперт должен рассчитать два: Хmax и Хтіп — наиболее приоритетное и наименее приоритетное, для которых X не хуже чем Хшах, а Хшіп не хуже чем X.

Полезность варианта X определяется вероятностью р — при котором эксперту безразлично, что избирать: X гарантировано или лотерею L(Xmax; p; Хтіn), где Хmax и Хтіп— векторы, наиболее и наименее приоритетны сравнительно с X .

Например, имеем два варианта:

  1. получить гарантированно 100 грн;

  1. принять участие в лотерее: или получить 50 грн. с вероятностью 0,4, или получить 150 грн. с соответствующей вероятностью 0,6.

Для каждого человека будет свое значение вероятности, когда ему безразлично, что избирать: деньги гарантировано или участие в лотерее. Вероятность превращают в полезность, умножая на 100, если полезность определяется по 100-балльной шкалой, или умножая на 10, когда за 10-балльной.

Пусть лотерея L приводит к выигрышам (событий) Х1,Х2,...ХП с соответствующими вероятностями Р1,Р2,...РП и соответствующими полезностями U(Xx),U(X2),..U{Xn).

Математическое ожидание выигрыша, т.е. ожидаемый выигрыш, вычисляют по формуле:

М(х) = РпХп. (4.1)

Математическое ожидание полезности, т.е. ожидаемую полезность, определяют по формуле:

М(U(x) )= (4..2)

Полезность результатов совпадает с математическим ожиданием полезности результатов.

Взаимосвязь риска с функциями полезности определяется понятием детерминированного эквивалента.